【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與軸垂直,求的值;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當時, .
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導函數(shù),利用函數(shù)在點處的切線與軸垂直,可得切線的斜率,從而可求 的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若函數(shù)有兩個極值點,則,即有兩個不同的根,且的值在根的左、右兩側符號相反.
令,討論其性質即可得到的取值范圍;
(Ⅲ)令(),則, .
令,討論的性質可得以時, ,即時, .
試題解析:((Ⅰ)由得.
因為曲線在點處的切線與軸垂直,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若函數(shù)有兩個極值點,則,即有兩個不同的根,且的值在根的左、右兩側符號相反.
令,則,
所以當時, , 單調遞減;當時, , 單調遞增.
又當時, ; 時, ; 時, ; 時, ,
所以.即所求實數(shù)的取值范圍是.
(Ⅲ)證明:令(),則, .
令,則 ,
因為,所以, , , ,
所以,即在時單調遞增,
又,所以時, ,即函數(shù)在時單調遞增.
所以時, ,即時, .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.
地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表
滿意度評分分組 | |||||
頻數(shù) | 2 | 8 | 14 | 10 | 6 |
(1)在答題卡上作出地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);
(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:
估計哪個地區(qū)的滿意度等級為不滿意的概率大?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直角梯形中,是邊長為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側.
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農產(chǎn)品,在一個銷售季度內,每售出該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了該農產(chǎn)品.以()表示下一個銷售季度內的市場需求量, (單位:元)表示下一個銷售季度內經(jīng)銷該農產(chǎn)品的利潤.
(Ⅰ)將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計利潤不少于57000元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年“一帶一路”國際合作高峰論壇于今年5月14日至15日在北京舉行.為高標準完成高峰論壇會議期間的志愿服務工作,將從27所北京高校招募大學生志愿者,某調查機構從是否有意愿做志愿者在某高校訪問了80人,經(jīng)過統(tǒng)計,得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表:(,表示丟失的數(shù)據(jù))
無意愿 | 有意愿 | 總計 | |
男 | 40 | ||
女 | 5 | ||
總計 | 25 | 80 |
(1)求出的值,并判斷:能否有99.9%的把握認為有意愿做志愿者與性別有關;
(2)若表中無意愿做志愿者的5個女同學中,3個是大學三年級同學,2個是大學四年級同學.現(xiàn)從這5個同學中隨機選2同學進行進一步調查,求這2個同學是同年級的概率.
附參考公式及數(shù)據(jù): ,其中.
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】語文成績服從正態(tài)分布,數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下:
(Ⅰ)如果成績大于135的為特別優(yōu)秀,這500名學生中本次考試語文、數(shù)學特別優(yōu)秀的大約各多少人?(假設數(shù)學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的)
(Ⅱ)如果語文和數(shù)學兩科都特別優(yōu)秀的共有6人,從(Ⅰ)中的這些同學中隨機抽取3人,設三人中兩科都特別優(yōu)秀的有人,求的分布列和數(shù)學期望.
(附參考公式)若,則, .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“共享單車”的出現(xiàn),為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴重的城市和交通擁堵嚴重的城市分別隨機調查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如圖:
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大。ú灰缶唧w解答過程,給出結論即可);
(Ⅱ)若得分不低于80分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認同”,請根據(jù)此樣本完成此列聯(lián)表,并局此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關;
(Ⅲ)若此樣本中的城市和城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認可的條件下,此人來自城市的概率是多少?
合計 | |||
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點是, ,且橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過橢圓的左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于兩點,求線段的長.
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