Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx圖象與直線x﹣y﹣4=0相切于（1，f（1））
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若方程f（x）=m﹣7x有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： x=1代入直線方程可得f（1）=﹣3，

函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx，求導(dǎo)可得f′（x）=3x2+2ax+b，

根據(jù)題意可得 ，

解得 ；

（2）解：由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣6x，所以方程等價(jià)于x3+2x2﹣6x=m﹣7x，即x3+2x2+x=m，

令h（x）=x3+2x2+x，

∴h′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1），

令h′（x）=0，解得x=﹣ 或x=﹣1．當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1
h′（x）	+	0	﹣	0	+
h（x）	單調(diào)遞增	0	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

要使x3+2x2+x=m有三個(gè)解，需要 ，

所以m的取值范圍是

【解析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值，即可得到結(jié)果．（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)為0，得到函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)函數(shù)的極值點(diǎn)，推出不等式組，得到結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．