Question

本題共3個小題，第1、2小題滿分各5分，第3小題滿分6分．
如圖，某小區(qū)準備在一直角圍墻ABC內的空地上植造一塊“綠地△ABD”（點D在線段BC上），設AB長為a，BC長為b，∠BAD=θ．現規(guī)劃在△ABD的內接正方形BEFG內種花，其余地方種草，且把種草的面積S₁與種花的面積S₂的比值

S1

S2

稱為“草花比y”．
（1）求證：正方形BEFG的邊長為

atanθ

1+tanθ

；
（2）將草花比y表示成θ的函數關系式；
（3）當θ為何值時，y有最小值？并求出相應的最小值．

Answer 1

分析：（1）設正方形BEFG的邊長t，則AE=a-t，利用相似比建立等式，從而可以證明；
（2）由于題目中“設∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知識解決“草花比y”；
（3）設tanθ=x，則y=

1

2

(x+

1

x

)括號中兩式的積是定值，故利用二元不等式求其最小值．

解答：解：（1）設正方形BEFG的邊長t，則AE=a-t，由

FG

AB

=

DG

DB

，得

t

a

=

atanθ-t

atanθ

（或：因為AE=tcoθ，a-t=tcoθ），解得t=

atanθ

1+tanθ

，（5分）
（2）BD=atanθ，△ABD的面積為

1

2

a2tanθ，S2=

a2tan2 θ

(1+tanθ)2

則S1=

1

2

a2tanθ -S2=

1

2

a2tanθ-

a2tan2θ

(1+tanθ)2

                          （8分）
所以y=

S1

S2

=

(1+tanθ)2

2tanθ

-1(θ∈(0，  arctan

b

a

])（10分）
（3）設tanθ=x，則y=

1

2

(x+

1

x

)
①當a≤b時，

b

a

≥1，x=1即θ=

π

4

時取最小值，最小值為1．            （14分）
②當a＞b時，x∈（0，

b

a

]，

b

a

＜1，y=

1

2

(x+

1

x

)是減函數，
所以當θ=arctan

b

a

時取最小值，最小值為

1

2

(

b

a

+

a

b

)（16分）

點評：本題的考點是在實際問題中建立三角函數模型，主要考查函數在實際生活中的應用、解三角形以及利用二元不等式求函數最值的方法，解決實際問題通常有幾個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果，其中關鍵是建立數學模型．