如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠ACB=90°,平面PAD⊥平面ABCD,
PA=BC=1,PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點.
(Ⅰ) 求證:CE∥平面PAF;
(Ⅱ)在線段BC上是否存在一點G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°?若存在,試確定G的位置;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)先證明EC∥HF即可 (Ⅱ)存在
解析試題分析:(1)取PA中點為H,連結(jié)CE、HE、FH,
因為H、E分別為PA、PD的中點,所以HE∥AD,,
因為ABCD是平行四邊形,且F為線段BC的中點 , 所以FC∥AD,
所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形 ,所以EC∥HF
又因為
所以CE∥平面PAF.
(2)因為四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB=90°,
所以CA⊥AD ,又由平面PAD⊥平面ABCD可得 CA⊥平面PAD ,
所以CA⊥PA , 由PA=AD=1,PD=可知,PA⊥AD,
所以可建立如圖所示的平面直角坐標系A-xyz, 因為PA=BC=1,AB=所以AC="1" .
所以.
假設BC上存在一點G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°,
設點G的坐標為(1,a,0), 所以
設平面PAG的法向量為,
則令 所以,
又設平面PCG的法向量為,
則令所以 ,
因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°,所以
所以又所以,
所以線段BC上存在一點G,使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°.
點G即為B點.
考點:直線與平面平行 二面角
點評:本題考查線面平行,考查面面角,考查學生的計算能力,正確作出面面角是關鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖1,的直徑AB=4,點C、D為上兩點,且CAB=45°,DAB=60°,F(xiàn)為弧BC的中點.沿直徑AB折起,使兩個半圓所在平面互相垂直,如圖2.
(I)求證:OF平面ACD;
(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值;
(Ⅲ)在弧BD上是否存在點G,使得FG平面ACD?若存在,試指出點G的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點,點F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3, AD=1, E、F分別是AB的兩個三等分點,AC,DF相交于點G,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?br />
(1)若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍,求動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
(2)證明:E G ⊥D F。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖四棱錐E—ABCD中,底面ABCD是平行四邊形!螦BC=45°,BE=BC= EA=EC=6,M為EC中點,平面BCE⊥平面ACE,AE⊥EB
(I)求證:AE⊥BC (II)求四棱錐E—ABCD體積
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖:在三棱錐D-ABC中,已知是正三角形,AB平面BCD,,E為BC的中點,F(xiàn)在棱AC上,且
(1)求三棱錐D-ABC的表面積;
(2)求證AC⊥平面DEF;
(3)若M為BD的中點,問AC上是否存在一點N,使MN∥平面DEF?若存在,說明點N的位置;若不存在,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設為正方形的中心,四邊形是平行四邊形,且平面平面,若.
(1)求證:平面.
(2)線段上是否存在一點,使平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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