Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3， AD=1， E、F分別是AB的兩個三等分點，AC，DF相交于點G，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?br />
（1）若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍，求動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積；
（2）證明：E G ⊥D F。

Answer 1

（1）（2）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x-3y=0，由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y-2=0，由得 故點G點的坐標為故，所以。 即證得：

解析試題分析：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系。
  
則A（0，0）．B（3，0）．C（3，1）．
D（0，1）．E（1，0）．F（2，0）。  1分
(1)設M(x,y), 由題意知  2分
∴  3分
兩邊平方化簡得：，即    5分
即動點M的軌跡為圓心（4,1），半徑為2的圓，
∴動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為    6分
（2）由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x-3y=0，    7分
由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y-2=0，    8分
由得 故點G點的坐標為。    10分
又點E的坐標為（1，0），故，      12分
所以。 即證得：       13分
考點：動點的軌跡及直線垂直的判定
點評：求動點的軌跡方程的步驟：建系設點，找到動點滿足的關系式并坐標化，化簡得方程，驗證是否有不滿足要求的點。判定兩線垂直可利用坐標法判定直線斜率之積為