【題目】如圖,已知過拋物線E:x2=4y的焦點F的直線交拋物線E與A、C兩點,經(jīng)過點A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點D、B(B與C不重合),∠FAD=∠FDA,經(jīng)過點C作拋物線E的切線為l2 .
(Ⅰ)求證:l1∥l2;
(Ⅱ)求三角形ABC面積的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:∵拋物線E:x2=4y的焦點F為(0,1),且直線AF的斜率一定存在, 故設(shè)AF的方程為:y=kx+1.
設(shè)A(x1 , y1),C(x2 , y2),(不妨設(shè)x2>0)
由 得x2﹣4kx﹣4=0,x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
∵∠FAD=∠FDA,∴AF=DF, ,∴yD=y1+2.
∴直線l1的斜率為k1= ,
∵x1x2=﹣4,∴
又∵ ,∴過C(x2 , y2)的切線斜率 .
即k1=k2 , ∴l(xiāng)1∥l2 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得直線l1的斜率為 ,故直線l1的方程為:
聯(lián)立 得 ,
∴x1+xB=2x2 , .
∴AB= =2 ,
點C到直線l1的距離為d= = = = =
三角形ABC面積s= =
由(Ⅰ)可得 ,所以當(dāng)k=0時(x2﹣x1)min=4,
∴當(dāng)k=0時,三角形ABC面積s= = 取最小值,(s)min=
【解析】(Ⅰ)設(shè)AF的方程為:y=kx+1.設(shè)A(x1 , y1),C(x2 , y2),(不妨設(shè)x2>0)由 得x2﹣4kx﹣4=0,x1+x2=4k,x1x2=﹣4,由∠FAD=∠FDA,得AF=DF,yD=y1+2.即可得k1=k2 , 可證l1∥l2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得直線l1的斜率為 ,故直線l1的方程為: 聯(lián)立 得
AB= =2 ,
點C到直線l1的距離為d= ,三角形ABC面積s= = ,由(Ⅰ)可得 ,可得當(dāng)k=0時,三角形ABC面積s= = 取最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了制定合理的節(jié)電方案,供電局對居民用電進行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量(單位:度),將數(shù)據(jù)按照[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500),[500,600),[600,700),[700,800),[800,900]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中m的值并估計居民月均用電量的中位數(shù);
(Ⅱ)從樣本里月均用電量不低于700度的用戶中隨機抽取4戶,用X表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù),求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十七世紀(jì)英國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓創(chuàng)立的求方程近似解的牛頓迭代法,相較于二分法更具優(yōu)勢,如圖給出的是利用牛頓迭代法求方程x2=6的正的近似解的程序框圖,若輸入a=2,=0.02,則輸出的結(jié)果為( )
A.3
B.2.5
C.2.45
D.2.4495
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的方程為C:x2=4y,過點Q(0,2)的一條直線與拋物線C交于A,B兩點,若拋物線在A,B兩點的切線交于點P.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)直線PQ與直線AB的夾角為α,求α的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn . 已知a1=2,Sn+1=4an+2.
(1)設(shè)bn=an+1﹣2an , 證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,正確的是( ) ①x∈R,2x>3x;②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分條件;③空間中若直線l若平行于平面α,則α內(nèi)所有直線均與l是異面直線;④空間中有三個角是直角的四邊形不一定是平面圖形.
A.①③
B.①④
C.②④
D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為坐標(biāo)原點,M(x1 , y1),N(x2 , y2)是橢圓 + =1上的點,且x1x2+2y1y2=0,設(shè)動點P滿足 = +2
(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=x+m(m≠0)與曲線C交于A,B兩點,求三角形OAB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在區(qū)間[﹣5,5]內(nèi)隨機地取出一個數(shù)a,則恰好使1是關(guān)于x的不等式2x2+ax﹣a2<0的一個解的概率大小為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四個實數(shù)根,則實數(shù)ω的取值范圍為( )
A.( , ]
B.( , ]
C.( , ]
D.( , ]
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