如圖所示，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸運(yùn)動(dòng)上，其中
PM
•
PF
=0，若動(dòng)點(diǎn)N滿足條件
PN
=
MP

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F（1，0）的直線l和l′分別與曲線E交于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)，若l⊥l′，試求四邊形ACBD的面積的最小值．
（Ⅰ）設(shè)N（x，y），M（x0，0），P（0，y0），F(xiàn)（1，0），
則
PM
=（x0，-y0），
PN
=（x，y-y0），
PF
=(1，-y0)，
由
PM
•
PF
=0，得x0+y02=0①
由
PN
=
MP
，得
PN
+
PM
=0，得（x+x0，y-2y0）=0，即
x+x0=0
y-2y0=0
，∴
x0=-x
y0=
y
2
．
代入①得，y2=4x即為所求；
（Ⅱ）設(shè)l方程為y=k（x-1），由
y2=4x
y=k(x-1)
，消去x，得y2-
4
k
-4=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=-4，y1+y2=
4
k
，于是
|AB|=
1+
1
k2
|y1-y2|=
(1+
1
k2
)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
(1+
1
k2
)(
16
k2
+16)
=4+
4
k2
，
設(shè)l′的方程為y=-
1
k
(x-1)，由
y2=4x
y=-
1
k
(x-1)
，消去x，得y2+4ky-4=0．
設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），則y3y4=4，y3+y4=-4k．
∴|CD|=
1+k2
|y3-y4|=
(1+k2)[(y3+y4)2-4y3y4]
．
∴|CD|=4+
4
(-
1
k
)2
=4+4k2．
于是SABCD=
1
2
|AB|•|CD|=
1
2
(4+
4
k2
)(4+4k2)
=8(2+k2+
1
k2
)≥8(2+2
k2•
1
k2
)=32．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），離心率為
2
2
．過點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
BM
•
BN
的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為kAM和kAN，求證：kAM+kAN為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線m與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（文）已知橢圓
x2
36
+
y2
9
=1的一條弦的中點(diǎn)為P（4，2），求此弦所在直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于不同的兩點(diǎn)A、B，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使|AB|≤2p．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)F1、F2為橢圓
x2
9
+
y2
4
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|＞|PF2|，則
|PF1|
|PF2|
的值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，0），定直線l：x=-1，B為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過B作直線m⊥l，連接AB，作線段AB的垂直平分線n，交直線m于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)N（4，0）作直線h與點(diǎn)M的軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4相交，則點(diǎn)P（m，n）與橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的位置關(guān)系為（　�。�
A．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)B．點(diǎn)P在橢圓C上
C．點(diǎn)P在橢圓C外D．以上三種均有可能

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知p：方程
x2
k-4
+
y2
k-6
=1表示雙曲線，q：過點(diǎn)M（2，1）的直線與橢圓
x2
5
+
y2
k
=1恒有公共點(diǎn)，若p∧q為真命題，求k的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案