Question

【題目】如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.

（1）當(dāng)θ＝時(shí)，求∠OPQ的大小；

（2）當(dāng)∠OPQ越大時(shí)，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式，將其展開(kāi)化簡(jiǎn)并整理后得tanα＝，將θ＝代入得答案；

（2）令f(θ)＝并利用導(dǎo)數(shù)求得f(θ)的最大值，即此時(shí)的，由（1）可知tanα＝，得答案.

（1）設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式．

因?yàn)椤?/span>AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝

在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，設(shè)∠OPQ＝α，則∠PQO＝－α＋θ.

由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．

展開(kāi)并整理，得tanα＝，其中θ∈.

此時(shí)當(dāng)θ＝時(shí)，tanα＝.因?yàn)?/span>α∈(0，π)，所以α＝.

故當(dāng)θ＝時(shí)，∠OPQ＝.

（2）設(shè)f(θ)＝，θ∈.

則f′(θ)＝＝.

令f′(θ)＝0，得sinθ＝，記銳角θ0滿足，

則，即

列表如下：

θ	(0，θ0)	θ0
f′(θ)	＋	0	－
f(θ)	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

由上表可知，f(θ0)＝是極大值，也是最大值．

由（1）可知tanα＝f(θ)>0，則， tanα單調(diào)遞增

則當(dāng)tanα取最大值時(shí)，α也取得最大值．

故游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，sinθ＝.