Question

【題目】某無縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管，鋼管有內(nèi)外兩個口徑，甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標(biāo)準(zhǔn)長度分別為和，乙種鋼管內(nèi)外兩個口徑的標(biāo)準(zhǔn)長度分別為和.根據(jù)長期的生產(chǎn)結(jié)果表明，兩種規(guī)格鋼管每根的長度都服從正態(tài)分布，長度在之外的鋼管為廢品，要回爐熔化，不準(zhǔn)流入市場，其他長度的鋼管為正品.

（1）在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機抽取10根進行檢測，求至少有1根為廢品的概率；

（2）監(jiān)管部門規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計算方式為：若鋼管的內(nèi)外兩個口徑實際長分別為，標(biāo)準(zhǔn)長分別為，則“口徑誤差”為，按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，其中“一級品”“二級品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是（正品鋼管中沒有“口徑誤差”大于的鋼管），現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機抽取100根，分別進行“口徑誤差”的檢測，統(tǒng)計后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：

　　　　甲種鋼管　　　　　　　　　　　　　　　乙種鋼管

已知經(jīng)銷商經(jīng)銷甲種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.3，“二級品”的利潤率為0.18，“合格品”的利潤率為0.1；經(jīng)銷乙種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.25，“二級品”的利潤率為0.15，“合格品”的利潤率為0.08，若視頻率為概率.

（ⅰ）若經(jīng)銷商對甲、乙兩種鋼管各進了100萬元的貨，和分別表示經(jīng)銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析經(jīng)銷商經(jīng)銷兩種鋼管的利弊；

（ⅱ）若經(jīng)銷商計劃對甲、乙兩種鋼管總共進100萬元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進貨多少萬元時，可使得所獲利潤的方差和最�。�

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（�。�，，，利弊見解析；（ⅱ）甲種鋼管上投資25萬元，在乙種鋼管上投資75萬元

【解析】

（1）結(jié)合題意，由正態(tài)分布的概率進行計算即可；

（2）（�。└鶕�(jù)題意，求解分布列，再根據(jù)分布列求解期望和方差即可；

（ⅱ）構(gòu)造方差和的函數(shù)，根據(jù)方差的運算性質(zhì)，利用已知求函數(shù)的最小值即可.

（1）由正態(tài)分布可知，抽取的1根鋼管的長度在之內(nèi)的概率為0.9974，

則這10根鋼管的長度全在內(nèi)的概率為，

則這10根中至少有1根為廢品的概率約為.

（2）（ⅰ）由利潤率和投額可得可為30萬元、18萬元、10萬元，

可為25萬元、15萬元、8萬元.

又由直方圖可得對應(yīng)的頻率為0.2、0.5、0.3和0.2、0.8、0，

所以隨機變量的分布列為

（萬元）	30	18	10
	0.2	0.5	0.3

（萬元），

.

隨機變量的分布列為

（萬元）	25	15	8
	0.2	0.8	0

（萬元），.

經(jīng)銷商經(jīng)銷甲種鋼管的平均利潤18萬元大于經(jīng)銷乙種鋼管的平均利潤17萬元，

但經(jīng)銷甲種鋼管的方差48大于經(jīng)銷乙種鋼管的方差16.

所以經(jīng)銷甲種鋼管的平均利潤大，方差也大，相對不穩(wěn)定；

而經(jīng)銷乙種鋼管的平均利潤小，方差也小，相對穩(wěn)定.

（ⅱ）設(shè)經(jīng)銷商進了萬元的甲種鋼管，則進了萬元的乙種鋼管，

令為經(jīng)銷甲種鋼管所獲利潤的方差與經(jīng)銷乙種鋼管所獲利潤的方差的和，則

.

當(dāng)時，的值最小.

故在甲種鋼管上投資25萬元，在乙種鋼管上投資75萬元時，

可使經(jīng)銷甲種鋼管所獲利潤的方差與經(jīng)銷乙種鋼管所獲利潤的方差和最小.