【題目】若存在實常數(shù),使得函數(shù)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足:恒成立,則稱此直線的“隔離直線”,已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù)),則(

A.內(nèi)單調(diào)遞增;

B.之間存在“隔離直線”,且的最小值為

C.之間存在“隔離直線”,且的取值范圍是

D.之間存在唯一的“隔離直線”.

【答案】ABD

【解析】

,利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性,得到正確;

設(shè),的隔離直線為,根據(jù)隔離直線定義可得不等式組對任意恒成立;分別在兩種情況下討論滿足的條件,進(jìn)而求得的范圍,得到正確,錯誤;

根據(jù)隔離直線過的公共點,可假設(shè)隔離直線為;分別討論、時,是否滿足恒成立,從而確定,再令,利用導(dǎo)數(shù)可證得恒成立,由此可確定隔離直線,則正確.

對于,

,,

當(dāng)時,,單調(diào)遞增,

,內(nèi)單調(diào)遞增,

正確;

對于,設(shè)的隔離直線為,

對任意恒成立,即對任意恒成立.

對任意恒成立得:.

⑴若,則有符合題意;

⑵若則有對任意恒成立,

的對稱軸為,,;

的對稱軸為,;

,;

同理可得:;

綜上所述:,正確,錯誤;

對于,函數(shù)的圖象在處有公共點,

若存在的隔離直線,那么該直線過這個公共點.

設(shè)隔離直線的斜率為,則隔離直線方程為,即,

恒成立,

,則不恒成立.

,令,對稱軸為

上單調(diào)遞增,

,故時,不恒成立.

,對稱軸為

恒成立,則,解得:.

此時直線方程為:

下面證明,

,則,

當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;

當(dāng)時,取到極小值,也是最小值,即

,即

函數(shù)存在唯一的隔離直線,正確.

故選:.

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