Question

【題目】有限數(shù)列，若滿(mǎn)足，是項(xiàng)數(shù)，則稱(chēng)滿(mǎn)足性質(zhì).

（1）判斷數(shù)列和是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍.

（3）若是的一個(gè)排列都具有性質(zhì)，求所有滿(mǎn)足條件的.

Answer 1

【答案】（1）第一個(gè)數(shù)列具有性質(zhì)，第二個(gè)數(shù)列不具有性質(zhì)；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）答案見(jiàn)解析.

【解析】

（1）結(jié)合題設(shè)中的定義可判斷給定的兩個(gè)數(shù)列是否具有性質(zhì)；

（2）等比數(shù)列具有性質(zhì)等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，就分類(lèi)討論后可得的取值范圍.

（3）設(shè)，先考慮均不存在具有性質(zhì)的數(shù)列，再分別考慮時(shí)具有性質(zhì)的數(shù)列，從而得到所求的數(shù)列.

（1）對(duì)于第一個(gè)數(shù)列有，滿(mǎn)足題意，該數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)

對(duì)于第二個(gè)數(shù)列有不滿(mǎn)足題意，該數(shù)列不滿(mǎn)足性質(zhì).

（2）由題意可得，

兩邊平方得：

整理得：

當(dāng)時(shí)，得， 此時(shí)關(guān)于恒成立，

所以等價(jià)于時(shí)，所以，

所以或者，所以取.

當(dāng)時(shí)，得， 此時(shí)關(guān)于恒成立，

所以等價(jià)于時(shí)，所以，

所以，所以取.

當(dāng)時(shí)，得.

當(dāng)為奇數(shù)的時(shí)候，得， 很明顯成立，

當(dāng)為偶數(shù)的時(shí)候，得， 很明顯不成立，

故當(dāng)時(shí)，矛盾，舍去.

當(dāng)時(shí)，得.

當(dāng)為奇數(shù)的時(shí)候，得， 很明顯成立，

當(dāng)為偶數(shù)的時(shí)候，要使恒成立，

所以等價(jià)于時(shí)，所以，

所以或者，所以取.

綜上可得，.

（3）設(shè)，，

因?yàn)?/span>， 故，

所以可以取或者，

若，，則，

故或（舍，因?yàn)?/span>），

所以（舍，因?yàn)?/span>）.

若，，則，

故（舍，因?yàn)?/span>），或

所以（舍，因?yàn)?/span>）.

所以均不能同時(shí)使，都具有性質(zhì).

當(dāng)時(shí)，即有，

故，故，

故有數(shù)列：滿(mǎn)足題意.

當(dāng)時(shí)，則且，故，

故有數(shù)列：滿(mǎn)足題意.

當(dāng)時(shí)，，

故，故，

故有數(shù)列：滿(mǎn)足題意.

當(dāng)時(shí)，則且，

故，

故有數(shù)列：滿(mǎn)足題意.

故滿(mǎn)足題意的數(shù)列只有上面四種.