Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．

（Ⅰ）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證線(xiàn)面平行，就要證線(xiàn)線(xiàn)平行，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理知平行線(xiàn)是過(guò)的平面與平面的交線(xiàn)，由已知過(guò)點(diǎn)作，交于,連接,就是要找的平行線(xiàn)；（Ⅱ）求二面角，由于圖中已知兩兩垂直，因此以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，可用向量法求得二面角，只要求得兩個(gè)面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)可得（需確定二面角是銳二面角還是鈍二面角）；（3）有了第（2）小題的空間直角坐標(biāo)系，因此解決此題時(shí)，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，由求得即可．

試題解析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)作，交于,連接,

因?yàn)?/span>，所以．

又，，所以．

所以為平行四邊形, 所以．

又平面，平面,（一個(gè)都沒(méi)寫(xiě)的，則這1分不給）

所以平面．

（Ⅱ）因?yàn)樘菪?/span>中，，,所以．

因?yàn)?/span>平面，所以,

如圖，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為,

因?yàn)?/span>

所以，即，

取得到,

同理可得,

所以,

因?yàn)槎�面�?/span>為銳角，

所以二面角為．

（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，

所以,

所以，解得，

所以存在點(diǎn)，且．