【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若不等式f(x)≤0恒成立,則 的最小值為 .
【答案】﹣
【解析】解:∵函數(shù)f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù), ∴ ,x>0,
當a≤e時,f′(x)>0,
f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)≤0不可能恒成立,
當a>e時,由 ,得x= ,
∵不等式f(x)≤0恒成立,∴f(x)的最大值為0,
當x∈(0, )時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當x∈( ,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
∴當x= 時,f(x)取最大值,
f( )=﹣ln(a﹣e)﹣b﹣1≤0,
∴l(xiāng)n(a﹣e)+b+1≥0,
∴b≥﹣1﹣ln(a﹣e),
∴ (a>e),
令F(x)= ,x>e,
F′(x)= = ,
令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,
H′(x)=ln(x﹣e)+1,
由H′(x)=0,得x=e+ ,
當x∈(e+ ,+∞)時,H′(x)>0,H(x)是增函數(shù),
x∈(e,e+ )時,H′(x)<0,H(x)是減函數(shù),
∴當x=e+ 時,H(x)取最小值H(e+ )=﹣e﹣ ,
∵x→e時,H(x)→0,x>2e時,H(x)>0,H(2e)=0,
∴當x∈(e,2e)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)是減函數(shù),
當x∈(2e,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)是增函九,
∴x=2e時,F(xiàn)(x)取最小值,F(xiàn)(2e)= =﹣ ,
∴ 的最小值為﹣ .
故答案為:﹣ .
求出 ,x>0,當a≤e時,f′(x)>0,f(x)≤0不可能恒成立,當a>e時,由 ,得x= ,由題意當x= 時,f(x)取最大值0,推導出 (a>e),令F(x)= ,x>e,F(xiàn)′(x)= ,令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,H′(x)=ln(x﹣e)+1,由此利用導數(shù)性質能求出 的最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,以O為圓心的圓與直線相切.
(1)求圓O的方程.
(2)直線與圓O交于A,B兩點,在圓O上是否存在一點M,使得四邊形為菱形?若存在,求出此時直線l的斜率;若不存在,說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線與曲線交于兩點.
(1)求直線l的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知點的極坐標為,求的值.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是等邊三角形.
(1)證明:PB⊥CD;
(2)求二面角A﹣PD﹣C的大小.
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【題目】甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽,其中兩人比賽,另一人當裁判,每局比賽結束時,負的一方在下一局當裁判,設各局中雙方獲勝的概率均為 ,各局比賽的結果都相互獨立,第1局甲當裁判.
(1)求第4局甲當裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù),求X的數(shù)學期望.
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【題目】某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品,每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分,今每次取出一只來測試,直到這4只次品全測出為止,則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn),則不同情況種數(shù)是______(用數(shù)字作答)
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【題目】(本題滿分12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求點D到平面PBC的距離;
(2)設Q是線段BP上的動點,當直線CQ與DP所成的角最小時,求二面角B-CQ-D的余弦值.
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【題目】假定某射手射擊一次命中目標的概率為.現(xiàn)有4發(fā)子彈,該射手一旦射中目標,就停止射擊,否則就一直獨立地射擊到子彈用完.設耗用子彈數(shù)為X,求:
(1)X的概率分布;
(2)數(shù)學期望E(X).
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