【題目】(本題滿分12分)如圖,在四棱錐PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD,PAAD=2,ABBC=1.

(1)求點D到平面PBC的距離;

(2)設(shè)Q是線段BP上的動點,當直線CQDP所成的角最小時,求二面角B-CQ-D的余弦值.

【答案】(1).

(2).

【解析】分析:(1)利用等體積法即可;

(2)建立空間直角坐標系,利用換元法可得,再結(jié)合函數(shù)上的單調(diào)性,計算即得結(jié)論.

詳解:(1)SBCD=BC×AB=, 由于PA⊥平面ABCD,從而PA即為三棱錐P-BCD的高,VP-BCD=SBCD×PA=.

設(shè)點D到平面PBC的距離為h.

PA⊥平面ABCDPABC,又由于BCAB,BC⊥平面PAB,所以BCPB.

由于BP,所以SPBC=BC×PB=.故VD-BCP=SBCP×h=h

因為VP-BCD=VD-BCP,所以h=.

(2)以{, }為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則各點的坐標為B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

設(shè)λ,(0≤λ≤1)

因為=(-1,0,2),所以=(-λ,0,2λ),

=(0,-1,0),得=(-λ,-1,2λ),

=(0,-2,2),

從而cos,〉=.

設(shè)1+2λtt∈[1,3],

cos2,〉=.

當且僅當t,即λ時,|cos〉|的最大值為.

因為ycos x上是減函數(shù),此時直線CQDP所成角取得最小值.

又因為BP,所以BQBP.

=(0,-1,0),=(1,1,-2)

設(shè)平面PCB的一個法向量為m=(x,yz),

m·=0,m·=0,

得: y=0,令z=1,則x=2.

所以m=(2,0,1)是平面PCB的一個法向量.

=(-λ,-1,2λ)=(-,-1,),=(-1,1 ,0)

設(shè)平面DCQ的一個法向量為n=(x,y,z),

n·=0,n·=0,

x=4,則 y=4,z=7,

所以n=(4,4,7)是平面DCQ的一個法向量.

從而cosmn〉=,

又由于二面角B-CQ-D為鈍角,所以二面角B-CQ-D的余弦值為-.

練習冊系列答案
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【題目】為促進農(nóng)業(yè)發(fā)展,加快農(nóng)村建設(shè),某地政府扶持興建了一批“超級蔬菜大棚”,為了解大棚的面積與年利潤之間的關(guān)系,隨機抽取了其中的7個大棚,并對當年的利潤進行統(tǒng)計整理后得到了如下數(shù)據(jù)對比表:

由所給數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,各樣本點都分布在一條直線附近,并且有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

(1)求關(guān)于的線性回歸方程;(結(jié)果保留三位小數(shù));

(2)小明家的“超級蔬菜大棚”面積為8.0畝,估計小明家的大棚當年的利潤為多少;

(3)另外調(diào)查了近5年的不同蔬菜畝平均利潤(單位:萬元),其中無絲豆為:1.5,1.7,2.1,2.2,2.5;彩椒為:1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,請分析種植哪種蔬菜比較好?

參考數(shù)據(jù):.

參考公式:,.

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A. B. C. D. 0

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【題目】已知函數(shù)f (x)=ex﹣ax﹣1,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若a=e,函數(shù)g (x)=(2﹣e)x. ①求函數(shù)h(x)=f (x)﹣g (x)的單調(diào)區(qū)間;
②若函數(shù)F(x)= 的值域為R,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若存在實數(shù)x1 , x2∈[0,2],使得f(x1)=f(x2),且|x1﹣x2|≥1,求證:e﹣1≤a≤e2﹣e.

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(1)求異面直線EF,AD所成角的余弦值;
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907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________

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