Question

【題目】已知函數．

(I)討論的單調性；

(II)若時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；

（Ⅱ）通過討論a的范圍，結合函數的單調性求出函數的最小值，從而確定a的范圍即可．

解：(Ⅰ)函數f(x)的定義域為，，

①當時，，f(x)在上為增函數.

②當a>0時，由得；

由得,

所以f(x)在上為減函數，在上為增函數.

綜上所述，①當時，函數f(x)在上為增函數

②當a>0時，f(x)在上為減函數，在上為增函數.

(Ⅱ)①當a=0時，因為，所以恒成立，所以a=0符合題意.

②當a<0時，，因為，所以不恒成立，舍去.

③當a>0時，由(Ⅰ)知f(x)在上為減函數，f(x)在上為增函數.

下面先證明：.

設，因為，

所以p(a)在上為增函數.

所以，因此有.

所以f(x)在上為增函數.

所以.

設，則，.

由得；由得.

所以在上為減函數，在上為增函數.

所以.

所以q(a)在上為增函數，

所以.所以.

所以恒成立.

故a>0符合題意.

綜上可知，a的取值范圍是.