在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)在軸上運(yùn)動，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)
為平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，．
（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軌跡的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)切線，的斜率分別為，，直線的斜率為，求證：．

（1），（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）求動點(diǎn)軌跡方程，分四步。第一步，設(shè)所求動點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，，．第二步，建立等量關(guān)系，由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以即所以點(diǎn)，．所以，．由，可得，第三步，化簡等量關(guān)系，即．第四步，去雜或確定取值范圍，本題就是（2）證明三直線斜率關(guān)系，實(shí)質(zhì)研究其坐標(biāo)關(guān)系. 設(shè)點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線，聯(lián)立方程，整理得．則，化簡得．所以．又，故．
【解】（1）設(shè)點(diǎn)，，．
由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以即所以點(diǎn)，．
所以，．       3分
由，可得，即．
所以動點(diǎn)的軌跡的方程為．     5分

（2）設(shè)點(diǎn)，
由于過點(diǎn)的直線與軌跡：相切，
聯(lián)立方程，整理得．    7分
則，
化簡得．
顯然，，是關(guān)于的方程的兩個根，所以．
又，故．
所以命題得證．                                           10分
考點(diǎn)：軌跡問題的求解方法、直線和拋物線方程的位置關(guān)系

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足三點(diǎn)的圓與直線相切.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（m，0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).判斷以為直徑的圓是否過點(diǎn)，并說明理由.

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如圖，已知圓，經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過圓外一點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

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已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段 的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時,求面積的最大值.

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已知曲線的方程為，過原點(diǎn)作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，如此下去，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點(diǎn)記為，設(shè)點(diǎn)（）．
（1）指出，并求與的關(guān)系式（）；
（2）求（）的通項(xiàng)公式，并指出點(diǎn)列，， ，，  向哪一點(diǎn)無限接近？說明理由；
（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求所有可能的乘積的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別
為，其上頂點(diǎn)為已知是邊長為的正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)任作一動直線交橢圓于兩點(diǎn)，記．若在線段上取一點(diǎn)，使得，當(dāng)直線運(yùn)動時，點(diǎn)在某一定直線上運(yùn)動，求出該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：（a>b>0），過點(diǎn)(0，1)，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線l：x=2與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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