已知數(shù)列中，，且．為數(shù)列的前項和，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項的和；
（3）證明對一切，有．

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查數(shù)列的通項公式、遞推公式、裂項相消法、數(shù)學(xué)歸納法、錯位相減法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化能力和計算能力.第一問，用n-1代替中的n，得到一個等式，2個等式相減，得到，分n為奇數(shù)偶數(shù)進(jìn)行討論，分別求出的通項公式，由于得到的式子相同，所以的通項公式就是；第二問，要求數(shù)列的前n項和，關(guān)鍵是需要求出的通項公式，可以利用已知的遞推公式進(jìn)行推導(dǎo)，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法猜想證明，得到的通項公式后，代入到中，得到的通項公式，最后用錯位相減法進(jìn)行求和；第三問，先用放縮法對原式進(jìn)行變形，再用裂項相消法求和，最后和作比較.
試題解析：（1）由已知得，，，
由題意，即，當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，.
所以.4分
（2）解法一：由已知，對有，
兩邊同除以，得，即，
于是，==，
即，，所以=，
，，又時也成立，故，.
所以，8分
解法二：也可以歸納、猜想得出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）當(dāng)，有，
所以時，有

=.
當(dāng)時，.故對一切，有.14分
考點(diǎn)：1.由求；2.錯位相減法；3.數(shù)學(xué)歸納法；4.裂項相消法.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的首項，前項和為，且，，成等差數(shù)列，其中.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項和為，求及數(shù)列的最大項.

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數(shù)列的首項,
求數(shù)列的通項公式；
設(shè)的前項和為,若的最小值為，求的取值范圍？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項數(shù)）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：；為數(shù)表中第行的第個數(shù)．
（1）求第2行和第3行的通項公式和；
（2）證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列；
（3）求關(guān)于（）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1<cn..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若正數(shù)項數(shù)列的前項和為，首項，點(diǎn)，在曲線上.
（1）求，；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè),表示數(shù)列的前項和，若恒成立，求及實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和為，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列，滿足.
（1）若是等差數(shù)列，求證：為等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足遞推式：．
(Ⅰ)若，求與的遞推關(guān)系（用表示）；
(Ⅱ)求證：．

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