【題目】已知函數 的最小值為m.
(1)求m的值;
(2)若a,b,c是正實數,且a+b+c=m,求證:2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc.
【答案】
(1)解:根據題意,函數 = ,
分析可得f(x)min=f( )=1,
即m=1;
(2)解:證明:由(1)可得a+b+c=1,
由于(a3+b3)﹣a2b﹣ab2=(a2﹣b2)(a﹣b)=(a﹣b)2(a+b),
又由a,b,c是正實數,
則有(a3+b3)﹣a2b﹣ab2=(a﹣b)2(a+b)≥0,
即a3+b3≥a2b+ab2=ab(a+b)=ab(1﹣c)=ab﹣abc,①
同理可得:b3+c3≥bc﹣abc,②
a3+c3≥ac﹣abc,③
①+②+③可得:2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc
【解析】(1)根據題意,將f(x)的解析式寫成分段函數的形式可得f(x)= ,結合函數的單調性分析可得f(x)min=f( )=1,即可得m的值;(2)先用作差法證明a3+b3≥a2b+ab2 , 再結合基本不等式分析可得a3+b3≥a2b+ab2=ab(a+b)=ab(1﹣c)=ab﹣abc,①;同理可以證明b3+c3≥bc﹣abc,②和a3+c3≥ac﹣abc,②;將三個式子相加即可得答案.
【考點精析】認真審題,首先需要了解不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構造法,函數單調性法,數學歸納法等).
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【題目】下列命題正確的是( )
A.?x0∈R,sinx0+cosx0=
B.?x≥0且x∈R,2x>x2
C.已知a,b為實數,則a>2,b>2是ab>4的充分條件
D.已知a,b為實數,則a+b=0的充要條件是 =﹣1
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【題目】某品牌的汽車4S店,對最近100例分期付款購車情況進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結果如表所示,已知分9期付款的頻率為0.4;該店經銷一輛該品牌的汽車.若顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為2萬元;分12期付款,其利潤為3萬元.
付款方式 | 分3期 | 分6期 | 分9期 | 分12期 |
頻數 | 20 | 20 | a | b |
(1)若以表中計算出的頻率近似替代概率,從該店采用分期付款購車的顧客(數量較大)中隨機抽取3位顧客,求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A);
(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人,再從抽出的5人中隨機抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量η,求η的分布列及數學期望E(η).
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【題目】定義在R上的函數f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=4(1﹣|x﹣1|),且對于任意實數x∈[2n﹣2,2n+1﹣2](n∈N* , n≥2),都有f(x)= f( ﹣1).若g(x)=f(x)﹣logax有且只有三個零點,則a的取值范圍是( )
A.[2,10]
B.[ , ]
C.(2,10)
D.[2,10)
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【題目】在平面直角坐標系xoy中,曲線C1的參數方程為 (θ為參數),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,與直角坐標系xoy取相同的單位長度建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ﹣4sinθ.
(1)化曲線C1 , C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)設曲線C2與x軸的一個交點的坐標為P(m,0)(m>0),經過點P作斜率為1的直線,l交曲線C2于A,B兩點,求線段AB的長.
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【題目】某市為了制定合理的節(jié)電方案,供電局對居民用電進行了調查,通過抽樣,獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量(單位:度),將數據按照[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500),[500,600),[600,700),[700,800),[800,900]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中m的值并估計居民月均用電量的中位數;
(Ⅱ)從樣本里月均用電量不低于700度的用戶中隨機抽取4戶,用X表示月均用電量不低于800度的用戶數,求隨機變量X的分布列及數學期望.
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【題目】直線l:kx+y+4=0(k∈R)是圓C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一條對稱軸,過點A(0,k)作斜率為1的直線m,則直線m被圓C所截得的弦長為( )
A.
B.
C.
D.2
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