Question

【題目】已知函數.

（1）若函數，求的極值；

（2）證明：.

（參考數據： ）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見證明

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；

（2）問題轉化為證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，根據xlnx≤x（x﹣1），問題轉化為只需證明當x＞0時，ex﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），根據函數的單調性證明即可．

（1），，當，，

當，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.

（2）要證f（x）+1＜ex﹣x2．

即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，

先證明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）＝，

易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，當且僅當x＝1時取“＝”，

故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x2﹣xlnx≥ex﹣2x2+x﹣1，

故只需證明當x＞0時，ex﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，

令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），則k′（x）＝ex﹣4x+1，

令F（x）＝k′（x），則F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝2ln2，

∵F′（x）遞增，故x∈（0，2ln2]時，F′（x）≤0，F（x）遞減，即k′（x）遞減，

x∈（2ln2，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）遞增，即k′（x）遞增，

且k′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k′（0）＝2＞0，k′（2）＝e2﹣8+1＞0，

由零點存在定理，可知x1∈（0，2ln2），x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）＝k′（x2）＝0，

故0＜x＜x1或x＞x2時，k′（x）＞0，k（x）遞增，當x1＜x＜x2時，k′（x）＜0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x2），由k′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，

k（x2）＝﹣2+x2﹣1＝﹣（x2﹣2）（2x2﹣1），∵x2∈（2ln2，2），∴k（x2）＞0，

故x＞0時，k（x）＞0，原不等式成立．