【題目】已知函數(shù),其中
為自然對數(shù)的底數(shù),
.
(1)求證: ;
(2)若存在,使
,求
的取值范圍;
(3)若對任意的恒成立,求
的最小值.
【答案】(1)見解析(2)或
(3)
.
【解析】試題分析:
(1)由題意可得函數(shù)的最小值,所以
.
(2)原問題等價于函數(shù)有零點時的
的取值范圍.分類討論:①當
時,
有零點.②當
時,
無零點.③當
時,
有零點.則
的取值范圍是
或
.
(3)原問題即.構(gòu)造函數(shù)
,其值域為
,且
.結(jié)合導函數(shù)可得
在
上為減函數(shù),所以
,. 記區(qū)間
,構(gòu)造新函數(shù)
,結(jié)合題意討論可得
的最小值為
.
試題解析:
(1)令,得
,且當
時,
;當
時,
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,所以函數(shù)
在
處取得最小值. 因為
,所以
.
(2)設(shè),題設(shè)等價于函數(shù)
有零點時的
的取值范圍.
①當時,由
,所以
有零點.
②當時,
若,由
,得
;
若,由(1)知,
,所以
無零點.
③當時,
,又存在
,
,所以
有零點.
綜上, 的取值范圍是
或
.
(3)由題意, ,因為
,所以
.
設(shè),其值域為
,
由于,所以
.
又,所以
在
上為減函數(shù),所以
,.
記區(qū)間,則
.①
設(shè)函數(shù),
一方面, ;
另一方面,
,
存在,
所以,使
,即
,所以
.②
由①,②知, ,
從而,即
的最小值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出集合.
(1)若,求證:函數(shù)
;
(2)由(1)分析可知, 是周期函數(shù)且是奇函數(shù),于是張三同學得出兩個命
題:命題甲:集合中的元素都是周期函數(shù).命題乙:集合
中的元素都是奇函數(shù). 請對此
給出判斷,如果正確,請證明;如果不正確,請舉反例;
(3)若,數(shù)列
滿足:
,且
,數(shù)列
的前
項
和為,試問是否存在實數(shù)
、
,使得任意的
,都有
成立,若
存在,求出、
的取值范圍,若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某項競賽分為初賽、復賽、決賽三個階段進行,每個階段選手要回答一個問題.規(guī)定正確回答問題者進入下一階段競賽,否則即遭淘汰.已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是且各階段通過與否相互獨立.
(1)求該選手在復賽階段被淘汰的概率;
(2)設(shè)該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ,求ξ的分布列與均值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)若曲線存在斜率為-1的切線,求實數(shù)a的取值范圍;
(II)求的單調(diào)區(qū)間;
(III)設(shè)函數(shù),求證:當
時,
在
上存在極小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l: ,曲線C:
(1)當m=3時,判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系;
(2)若曲線C上存在到直線l的距離等于的點,求實數(shù)m的范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A(-2,0),B(2,0),曲線C上的動點P滿足.
(1)求曲線C的方程;
(2)若過定點M(0,-2)的直線l與曲線C有公共點,求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)若動點Q(x,y)在曲線C上,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a>0)的最小值是1.
(1)求a;
(2)若關(guān)于x的方程f2(x)ex-6mf(x)+9me-x=0在區(qū)間[1,+∞)有唯一的實根,求m的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com