Question

已知函數(shù)f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)．
(1)求k的值；
(2)探究函數(shù)f(x)＝ax＋(a、b是正常數(shù))在區(qū)間和上的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論，不要求證明）.并利用所得結(jié)論，求使方程f(x)－log₄m＝0有解的m的取值范圍．

Answer 1

(1);
(2)函數(shù)f(x)＝ax＋ (a、b是正常數(shù))在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù);.

解析試題分析：(1)由已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/af/3/xzmfd.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于原點(diǎn)對稱,又是偶函數(shù),則可根據(jù)偶函數(shù)的定義(或者利用特殊值代入計算亦可,如),得到一個關(guān)于的方程,從而求出的值;(2)由函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),結(jié)合是可知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù),在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).由題意知方程,即為方程,若使方程有解,則對數(shù)式的值要在函數(shù)的值域范圍內(nèi),所以首先要求出函數(shù)的值域,對函數(shù)進(jìn)行化歸得,故原方程可化為,令,,則在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),故函數(shù)的最小值為,即當(dāng),時函數(shù)的值,所以函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/28/2/1gnga3.png" style="vertical-align:middle;" />,從而可求出.
試題解析：(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可知．
∴.
即，      2分   ，        4分
∴對一切恒成立．∴.      5分
（注：利用解出，亦可得滿分)
(2)結(jié)論：函數(shù) (a、b是正常數(shù))在區(qū)間上為減函數(shù)，
在區(qū)間上為增函數(shù).                  6分
由題意知，可先求的值域，． 8分
設(shè)，又設(shè)，則，由定理，知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，    11分
∵為增函數(shù)，由題意，只須，即
故要使方程有解，的取值范圍為.        13分
考點(diǎn)：1.偶函數(shù);2.對數(shù)函數(shù);3.函數(shù);4.復(fù)合函數(shù)值域.