(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)棱錐的底面是正三角形,邊長(zhǎng)為1,棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,其余兩條側(cè)棱與底面所成角都等于
π3
,設(shè)D為BC中點(diǎn).
(1)求這個(gè)棱錐的側(cè)面積和體積;
(2)求異面直線PD與AB所成角的大。
分析:(1)棱錐的側(cè)面積等于三個(gè)側(cè)面的面積的和,體積利用V=
1
3
S△ABCPA
即可求解;
(2)取AC中點(diǎn)E,連接DE,則∠PDE為異面直線PD與AB所成角(或其補(bǔ)角).△PDE中,利用余弦定理可求異面直線PD與AB所成角的大小.
解答:解:(1)∵PA⊥平面ABC,兩條側(cè)棱與底面所成角都等于
π
3
,∴∠PBA=∠PCA=
π
3

∵AB=AC=1,∴PA=
3
,PB=PC=2
,….(2分)
∵D為BC中點(diǎn),∴PD⊥BC,∴PD=
PB2-BD2
=
15
2
,….(3分)
S側(cè)=2×
1
2
×1×
3
+
1
2
×1×
15
2
=
4
3
+
15
4
,….(5分)
V=
1
3
S△ABCPA=
1
4
….(6分)
(2)取AC中點(diǎn)E,連接DE,

則DE∥AB,∴∠PDE為異面直線PD與AB所成角(或其補(bǔ)角).….(8分)
△PDE中,DE=
1
2
,PE=
13
2
,….(10分)
設(shè)∠PDE=θ,則cosθ=
PD2+DE2-PE2
2PD•DE
=
15
10
,….(12分)
因此異面直線PD與AB所成角的大小為arccos
15
10
.….(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查棱錐的側(cè)面積和體積,考查異面直線所成的角,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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x2
m
+y2=1(m>1)
和雙曲線
x2
n
-y2=1(n>0)
,P是它們的一個(gè)交點(diǎn),則△F1PF2的形狀是( 。

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PA
=-2
PM
,則
PA
•(
PB
+
PC
)
等于( 。

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5
2
5
2

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a
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,若
a
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垂直,則m等于
2
2

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2
,2π),cotα=-2,則sinα
=
-
5
5
-
5
5

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