【題目】已知：.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)，時，證明：

（i）在點(diǎn)處的切線與的圖像至少有兩個不同的公共點(diǎn)；

（ii）若另有公共點(diǎn)為，其中，則.

【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析，（ii）見解析

【解析】

（1）先求得函數(shù)到導(dǎo)數(shù)，然后對分成兩種情況，討論的單調(diào)性.（2）先判斷出的二階導(dǎo)數(shù)大于零.（i）先求得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，，構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，，以及結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出至少有兩個零點(diǎn)，也即切線與至少有兩個不同的公共點(diǎn).（ii）取，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有，而，利用基本不等式證得.

（1），當(dāng)時，在，當(dāng)時，，.

（2）.

（i），

，，，.

，

時，，：，，，.

又

，

，

當(dāng)時，，取時，，

故，使.故至少有兩個零點(diǎn)，也即切線與至少有兩個不同的公共點(diǎn).

（ii）取，，

∴，∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（一2，2)為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)。若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，則m的最大值是___．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖甲是某商店2018年（按360天計算）的日盈利額（單位：萬元）的統(tǒng)計圖.

（1）請計算出該商店2018年日盈利額的平均值（精確到0.1，單位：萬元）：

（2）為了刺激消費(fèi)者，該商店于2019年1月舉行有獎促銷活動，顧客凡購買一定金額的高品后均可參加抽獎.隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數(shù)越來越多，該商店對前5天抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計如下表：（表示第天參加抽獎活動的人數(shù)）

1

2

3

4

5

50

60

70

80

100

經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.

（ⅰ）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程：

（ⅱ）該商店采取轉(zhuǎn)盤方式進(jìn)行抽獎（如圖乙），其中轉(zhuǎn)盤是個八等分的圓.每位顧客最多兩次抽獎機(jī)會，若第一次抽到獎，則抽獎終止，若第一次未抽到獎，則再提供一次抽獎機(jī)會.抽到一等獎的獎品價值128元，抽到二等獎的獎品價值32元.若該商店此次抽獎活動持續(xù)7天，試估計該商店在此次抽獎活動結(jié)束時共送出價值為多少元的獎品（精確到0.1，單位：萬元）？

（3）用（1）中的2018年日盈利額的平均值去估計當(dāng)月（共31天）每天的日盈利額.若商店每天的固定支出約為1000元，促銷活動日的日盈利額比平常增加20%，則該商店當(dāng)月的純利潤約為多少萬元？（精確到0.1，純利潤=盈利額-固定支出-抽獎總獎金數(shù)）

參考公式及數(shù)據(jù)：，，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可參加一次抽獎.隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數(shù)越來越多，該商場對前5天抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，y表示第x天參加抽獎活動的人數(shù)，得到統(tǒng)計表如下：

x

1

2

3

4

5

y

50

60

70

80

100

經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）若從這5天隨機(jī)抽取兩天，求至少有1天參加抽獎人數(shù)超過70的概率；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計該活動持續(xù)7天，共有多少名顧客參加抽獎？

參考公式及數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運(yùn)動，得到如表的列聯(lián)表：

男

女

總計

愛好

40

20

60

不愛好

20

30

50

總計

60

50

110

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

算得，．見附表：參照附表，得到的正確結(jié)論是（　　）

A. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”

B. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)”

C. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”

D. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率低于，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）

A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，從該校抽了名學(xué)生，分析了這名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分），得到了如下的頻率分布直方圖：

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（精確到）；

（3）在這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中，從成績在的學(xué)生中任選人，求次人的成績都在中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】方程的曲線即為函數(shù)的圖像，對于函數(shù)，有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)不存在零點(diǎn)；③ 的最大值為；④若函數(shù)和的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則由方程確定；其中所有正確的命題序號是（ ）

A.③④B.②③C.①④D.①②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，曲線與在原點(diǎn)處的切線相同.

（1）求，的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（3）若時，，求的取值范圍.

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