【題目】設函數(shù),其中.
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當,且時證明不等式:
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)代入時,求得,求得切線的斜率,即可求解切線的方程;
(Ⅱ)求得的表達式,分和和三種情況分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)先由時,證得,再取得,進而可證明上述不等式.
試題解析:
(Ⅰ)解:當時, ,
所以,曲線在點處的切線方程為.
(Ⅱ)解:函數(shù).
,
分以下幾種情形討論:
(1)當時, ,函數(shù);
(2)當時, ,
①當時, ,
,
所以,函數(shù)
②當時,
,
所以, .
(Ⅲ)證明:當-1時, ,
令,則在上恒正,
所以, 在上單調(diào)遞增,當時,恒有,
即當時, ,
對任意正整數(shù),取得,
所以,
=
=
=
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動1次的有2人,2次的有4人,3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.
(1)設為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件發(fā)生的概率;
(2)設為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知長方形, , ,以的中點為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系.
(1)求以為焦點,且過兩點的橢圓的標準方程;
(2)在(1)的條件下,過點作直線與橢圓交于不同的兩點,設,點坐標為,若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廠需要確定加工某大型零件所花費的時間,連續(xù)4天做了4次統(tǒng)計,得到的數(shù)據(jù)如下:
零件的個數(shù)(個) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時間(小時) | 2.5 | 3 | 4 | 5.5 |
(1)在直角坐標系中畫出以上數(shù)據(jù)的散點圖,求出關(guān)于的回歸方程,并在坐標系中畫出回歸直線;
(2)試預測加工10個零件需要多少時間?
參考公式:兩個具有線性關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù):,
其回歸方程為,其中
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)當時,若存在實數(shù)使得不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地高中年級學生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制,已知這些學生的原始成績均分布在內(nèi),發(fā)布成績使用等級制,各等級劃分標準見下表,并規(guī)定: 三級為合格, 級為不合格
為了了解該地高中年級學生身體素質(zhì)情況,從中抽取了名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計,按照分組作出頻率分布直方圖如圖所示,樣本中分數(shù)在分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.
(Ⅰ) 求及頻率分布直方圖中的值;
(Ⅱ) 根據(jù)統(tǒng)計思想方法,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率,若在該地高中學生中任選人,求至少有人成績是合格等級的概率;
(Ⅲ)上述容量為的樣本中,從兩個等級的學生中隨機抽取了名學生進行調(diào)研,記為所抽取的名學生中成績?yōu)?/span>等級的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(A)在直角坐標系中,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)), 是曲線上的動點, 為線段的中點,設點的軌跡為曲線.
(1)求的坐標方程;
(2)若射線與曲線異于極點的交點為,與曲線異于極點的交點為,求.
(B)設函數(shù).
(1)當時,求不等式的解集;
(2)對任意, 不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)和兩種產(chǎn)品,按計劃每天生產(chǎn)各不得少于10噸,已知生產(chǎn)產(chǎn)品噸需要用煤9噸,電4度,勞動力3個(按工作日計算).生產(chǎn)產(chǎn)品1噸需要用煤4噸,電5度,勞動力10個,如果產(chǎn)品每噸價值7萬元, 產(chǎn)品每噸價值12萬元,而且每天用煤不超過300噸,用電不超過200度,勞動力最多只有300個,每天應安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品各多少才是合理的?
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