Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是 ，D是AC的中點．

（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1﹣BD﹣A的大��；
（3）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AB1與A1B相交于點P，連接PD，則P為AB1中點，

∵D為AC中點，∴PD∥B1C．

又∵PD平面A1BD，B1C平面A1BD

∴B1C∥平面A1BD．

（2）解：∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，

∴AA1⊥底面ABC．

又∵BD⊥AC

∴A1D⊥BD

∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．

∵AA1= ，AD= AC=1

∴tan∠A1DA=

∴∠A1DA= ，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是 ．

（3）解：由（2）作AM⊥A1D，M為垂足．

∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC

∴BD⊥平面A1ACC1，

∵AM平面A1ACC1，

∴BD⊥AM

∵A1D∩BD=D

∴AM⊥平面A1DB，連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角．

∵AA1= ，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA= ，

∴AM=1×sin60°= ，AP=AB1= ．

∴sin∠APM=

∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）設AB1與A1B相交于點P，連接PD，則P為AB1中點，D是AC的中點，根據(jù)中位線定理不難得出PD∥B1C，則B1C∥平面A1BD，（2）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可得出AA1⊥底面ABC，又因為BD⊥AC，由三垂線定理可得出∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角，在三角形A1DA中進行求解即可，（3）由（2）作AM⊥A1D，M為垂足，不難證出∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角，在三角形APM進行求解即可、

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．