Question

【題目】已知向量 = ， = ，且
（1）求 及| |
（2）若f（x）= ﹣2λ| |的最小值為 ，求正實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 =cos cos ﹣sin sin =cos2x，

∵ =（cos +cos ，sin ﹣sin ），

∴| |= = = =2|cosx|，

由且 ，可得| |=2cosx．

（2）解：若f（x）= ﹣2λ| |=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣4λcosx﹣1=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2 的最小值為 ，

∵ ，∴cosx∈[0，1]，

①當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，則當(dāng)cosx=λ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為﹣1﹣2λ2=﹣ ，求得λ= ．

②當(dāng)λ＞1 時(shí)，當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為1﹣4λ=﹣ ，解得λ= （舍去），

綜上可得 λ= ．

【解析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求得 及| + |的值，（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算并進(jìn)行化簡(jiǎn)可得f（x）=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，當(dāng)f（x）的最小值為時(shí)，對(duì)λ進(jìn)行分類討論綜上可得出λ的值.
【考點(diǎn)精析】利用三角函數(shù)的最值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．