在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到兩點(diǎn),的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為,直線與C交于A,B兩點(diǎn).  (Ⅰ)寫出C的方程;(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)若點(diǎn)A在第一象限,證明:當(dāng)k>0時(shí),恒有||>||.
(Ⅰ).(Ⅱ). (Ⅲ)在題設(shè)條件下,恒有. 
(I)根據(jù)橢圓定義可知a=2,,所以b=1,再注意焦點(diǎn)在y軸上,曲線C的方程為.
(II) 直線與橢圓方程聯(lián)立,消y得關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)坐標(biāo)化為,借助直線方程和韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程,求出k值.
(III)要證:||>||,,再根據(jù)A在第一象限,故,,從而證出結(jié)論.
解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知,點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸為2的橢圓.它的短半軸,
故曲線C的方程為.            3分
(Ⅱ)設(shè),其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得,
.       5分
,即.而,
于是,
化簡(jiǎn)得,所以.       8分
(Ⅲ)



因?yàn)锳在第一象限,故.由,從而.又,
,
即在題設(shè)條件下,恒有.          12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿足,則的取值范圍為      ,直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為     .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知F是橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn), P是橢圓上的一點(diǎn), PF⊥x軸, O
∥AB(O為原點(diǎn)), 則該橢圓的離心率是 (        )
 
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,兩準(zhǔn)線間的距離為16,則橢圓的離心率e為(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知點(diǎn)p(x, y)在橢圓上,則的最大值為           

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓的離心率為=,點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本題滿分10分)已知A、B是橢圓與坐標(biāo)軸正半軸的兩交點(diǎn),在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形OPAB的面積最大.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

從橢圓 上一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn)F1,又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),且AB//OP,,求橢圓的方程

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本題滿分13分)
已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若橢圓的離心率為,焦距為2,求線段AB的長(zhǎng);
(Ⅱ)若向量與向量互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率 時(shí),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

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