Question

【題目】已知⊙： 與⊙： ，以， 分別為左右焦點(diǎn)的橢圓： 經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）， 分別為橢圓的左右頂點(diǎn)， ， ， 是橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn)，若∥， ∥，試問的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面積為定值3..

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意有，由橢圓定義知，解得點(diǎn)值，得出橢圓的方程；

（Ⅱ）由題可知， ，設(shè)， ，把直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和韋達(dá)定理，即可求面積的定值.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)兩圓的交點(diǎn)為，依題意有，

由橢圓定義知，解得；

因?yàn)?/span>， 分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，所以，解得，

所以橢圓的方程為；

（Ⅱ）解法一 由題可知， ，設(shè)，∵是橢圓上的點(diǎn)，

∴，即，∴，

∵∥， ∥，∴,

∵、、是橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn)，∴直線的斜率存在且不為零，

設(shè)直線的方程為， ， ，

由，得，

由，得 （*）

且， ，

∴，

∵，∴，整理得，

代入（*）得，

∵ ，

原點(diǎn)到直線的距離，∴（定值）.

綜上所述， 的面積為定值3.（Ⅱ）解法二 同解法一可知，直線， 的斜率存在且不為零，且,……6分

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)， ，

由得，用換可得，則，

因?yàn)?/span>，所以與異號(hào)，

∴（定值）.

綜上所述， 的面積為定值3.