【題目】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)討論極值點的個數(shù);

(Ⅱ)若的一個極值點,且,證明:.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析

【解析】

I)求得函數(shù)的導函數(shù),對分成四種情況進行分類討論,根據(jù)的單調(diào)區(qū)間,判斷出極值點的個數(shù).

II)首先結(jié)合(I)以及判斷出,且,由此求得的表達式,利用這個表達的導數(shù)求得最大值為,由此證得.

(Ⅰ)的定義域為,

①若,則

所以當時,;當時,

所以上遞減,在遞增.

所以唯一的極小值點,無極大值,

故此時有一個極值點.

②若,令,

,

時,,

則當時,;當時,;

時,.

所以-2,分別為的極大值點和極小值點,

故此時2個極值點.

時,,

且不恒為0,

此時上單調(diào)遞增,

無極值點

時,

則當時,;當時,

;當時,.

所以,-2分別為的極大值點和極小值點,

故此時2個極值點.

綜上,當時,無極值點;

時,1個極值點;

時,2個極值點.

(Ⅱ)證明:若的一個極值點,

由(Ⅰ)可知,

,所以

,則

所以.

,則,

所以

又因為,所以,令,得.

時,單調(diào)遞增,

時,,單調(diào)遞減,

所以唯一的極大值點,也是最大值點,

,

,即.

練習冊系列答案
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