)設點
C為曲線
y=
(
x>0)上任一點,以點
C為圓心的圓與
x軸交于點
E、
A,與
y軸交于點
E、
B.
(1)證明:多邊形
EACB的面積是定值,并求這個定值;
(2)設直線
y=-2
x+4與圓
C交于點
M,
N,若|
EM|=|
EN|,求圓
C的方程.
(1)見解析;(2)(x-2)2+(y-1)2=5.
(1)可直接確定點E為原點,所以設圓心C
,然后根據(jù)半徑長度為|OC|,即可寫出圓的標準方程 ,然后再求四邊形的面積看是否是定值即可。
(2)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知CE所在直線與直線y=-2x+4垂直,所以根據(jù)斜率積為-1,即可求出t的值,進而確定圓的方程。
解:(1)證明:設點
C (
t>0),因為以點
C為圓心的圓與
x軸交于點
E、
A,與
y軸交于點
E、
B.
所以,點
E是直角坐標系原點,即
E(0,0).
于是圓
C的方程是(
x-
t)
2+
2=
t2+
.
則
A(2
t,0),
B.
由|
CE|=|
CA|=|
CB|知,圓心
C在Rt△
AEB的斜邊
AB上,于是多邊形
EACB為Rt△
AEB,
其面積
S=
|
EA|·|
EB|=
×2
t×
=4.
所以多邊形
EACB的面積是定值,這個定值是4.
(2)若|
EM|=|
EN|,則
E在
MN的垂直平分線上,即
EC是
MN的垂直平分線.
因為
kEC=
=
,
kMN=-2.
所以由
kEC·
kMN=-1得
t=2.
所以圓
C的方程是(
x-2)
2+(
y-1)
2=5.
練習冊系列答案
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選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
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(
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,
是曲線
上任意一點,求
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,直線
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設
m>0,則直線
x+
y+1+
m=0與圓
x2+
y2=
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(1)以A、B所在的直線為x軸,線段AB的中點為原點建立如圖直角坐標系,試確定點P所在曲線
的形狀;
(2)請說明(1)中曲線
外的居民選擇A地購物是否合算?
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
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2+y
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.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
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(2) 設過P點的弦的中點為
,求點
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
圓
與直線
相交于
兩點, 若
(
為原點),則圓的半徑
值的為
;
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
經(jīng)過點(0,-1)作圓
的切線,切點分別為A和B,點Q是圓C上一點,則
面積的最大值為
。
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