【題目】已知數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(Ⅰ)分別求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)令cn= an bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
【答案】(1)an=3n-1,bn=,(2)Tn= - (6n+7)31-n .
【解析】
試題解析:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn.
當(dāng)n=1時,a1b2+b2=b1.∵b1=1,b2=, ∴a1=2,
又∵{an}是公差為3的等差數(shù)列, ∴an=3n-1,
∴. 即 .
即數(shù)列{bn}是以1為首項,以為公比的等比數(shù)列, ∴bn=,
(Ⅱ)cn= an bn=(3n-1)
∴Tn=2×+5×+8×+……+(3n-1) ①
Tn= 2×+5×+8×+……+(3n-1) ②
① - ②:Tn=2 +3×+3×……+3× -(3n-1)
=2 + 3×-(3n-1)
∴Tn= - (6n+7)31-n .
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【題目】若函數(shù)在區(qū)間上, , , , , , 均可為一個三角形的三邊長,則稱函數(shù)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
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【題目】某中學(xué)有一調(diào)查小組為了解本校學(xué)生假期中白天在家時間的情況,從全校學(xué)生中抽取人,統(tǒng)計他們平均每天在家的時間(在家時間在小時以上的就認(rèn)為具有“宅”屬性,否則就認(rèn)為不具有“宅”屬性)
具有“宅”屬性 | 不具有“宅”屬性 | 總計 | |
男生 | 20 | 50 | 70 |
女生 | 10 | 40 | 50 |
總計 | 30 | 90 | 120 |
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認(rèn)為“是否具有‘宅’屬性與性別有關(guān)?”
(2)采用分層抽樣的方法從具有“宅”屬性的學(xué)生里抽取一個人的樣本,其中男生和女生各多少人?
從人中隨機選取人做進一步的調(diào)查,求選取的人至少有名女生的概率.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 5.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知分別為橢圓左、右焦點,點在橢圓上,且軸,的周長為6.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是橢圓上異于點的兩個動點,如果直線與直線的傾斜角互補,證明:直線的斜率為定值,并求出這個定值.
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【題目】如圖,一個鋁合金窗分為上、下兩欄,四周框架和中間隔檔的材料為鋁合金,寬均為6,上欄與下欄的框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)的比為1:2,此鋁合金窗占用的墻面面積為28800,設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為,鋁合金窗的透光部分的面積為.
(1)試用表示;
(2)若要使最大,則鋁合金窗的寬和高分別為多少?
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,是的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】為了整頓食品的安全衛(wèi)生,食品監(jiān)督部門對某食品廠生產(chǎn)甲、乙兩種食品進行了檢測調(diào)研,檢測某種有害微量元素的含量,隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品,每個批次各隨機地抽取了一件,下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖(單位:毫克).
規(guī)定:當(dāng)食品中的有害微量元素的含量在時為一等品,在為二等品,20以上為劣質(zhì)品.
(1)用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個數(shù)據(jù),再分別從這5個數(shù)據(jù)中各選取2個,求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率;
(2)每生產(chǎn)一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣質(zhì)品虧損20元,根據(jù)上表統(tǒng)計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的頻率,分別估計這兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率,若分別從甲、乙食品中各抽取1件,設(shè)這兩件食品給該廠帶來的盈利為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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