Question

【題目】下列命題:

①動(dòng)點(diǎn)M到二定點(diǎn)A、B的距離之比為常數(shù)則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓

②橢圓的離心率為,則

③雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是

④已知拋物線上兩點(diǎn)(是坐標(biāo)原點(diǎn)),則

以上命題正確的是( )

A.②③④B.①④

C.①③D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

對(duì)于①，通過(guò)建立坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程判斷出正確；利用橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系判斷出②對(duì)；對(duì)于③，據(jù)雙曲線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷出正確；對(duì)于④，利用向量垂直的充要條件判斷出其錯(cuò)

對(duì)于①，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），A（-a，0），B（a，0），則有 化簡(jiǎn)得（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+（2a+2aλ2）x+a2-a2λ2=0，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓，①正確；
對(duì)于②，，所以，所以a2=2c2，所以橢圓中有b2=a2-c2=c2，所以b=c，所以②正確；
對(duì)于③，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），漸近線的方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到距離=．所以③正確；
對(duì)于④，因?yàn)?/span>OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又因?yàn)?/span>y2=2px，所以y12＝2px1，y22＝2px2，所以y1y2=-4p2．④不正確

故選：D．