【題目】如圖,在三棱錐中,△ABC是等邊三角形,AB⊥AD,CB⊥CD,點(diǎn)P是AC的中點(diǎn),記△BPD、△ABD的面積分別為,,二面角A-BD-C的大小為,
證明:(Ⅰ)平面ACD平面BDP;
(Ⅱ).
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)由題意可知Rt△BAD≌Rt△BCD,∴AD=CD,又P是AC的中點(diǎn),∴PB⊥AC,PD⊥AC,可得AC⊥平面BDP ,結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證。
(Ⅱ)作AM⊥ BD,M為垂足,連接PM,CM.可得AC⊥PM,AC⊥BD,所以BD⊥CM,則∠AMC就是二面角A-BD-C的平面角,即∠AMC=. 可求出與的關(guān)系,即可得證。
(Ⅰ)證明:∵△ABC是等邊三角形,AB⊥AD,CB⊥CD,
∴Rt△BAD≌Rt△BCD,∴AD=CD.
∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn),∴PB⊥AC,PD⊥AC,
又=P,平面BDP,平面BDP,
∴AC⊥平面BDP,
∵平面ACD,∴平面ACD⊥平面BDP.
(Ⅱ)證明:作AM⊥ BD,M為垂足,連接PM,CM.
由(1)知AC⊥平面BDP,則AC⊥PM,AC⊥BD,
∵,∴BD⊥平面ACM,
∴BD⊥CM,則∠AMC就是二面角A-BD-C的平面角,即∠AMC=.
又P為AC的中點(diǎn),PM⊥AC,則∠AMP=,
所以 ,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足, ,其中,則稱為的“陪伴數(shù)列”.
(Ⅰ)寫出數(shù)列的“陪伴數(shù)列”;
(Ⅱ)若的“陪伴數(shù)列”是.試證明: 成等差數(shù)列.
(Ⅲ)若為偶數(shù),且的“陪伴數(shù)列”是,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的方程是: ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)過原點(diǎn)的直線與曲線交于, 兩點(diǎn),且,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別 ,過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn),滿足.
(1)求橢圓的離心率.
(2)是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(異于橢圓的頂點(diǎn)),直線分別與軸相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E: (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在過點(diǎn)的直線與相交于不同的兩點(diǎn),滿足?
若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿足,,其中是數(shù)列的前項(xiàng)和,是公差為的等差數(shù)列.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若(是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)若(為常數(shù),),(,),對(duì)任意,,求出數(shù)列的最大項(xiàng)(用含式子表達(dá)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,,四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說:“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________.
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