Question

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），=（x-2，），=（x+2，）且•=0
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，交曲線E于點(diǎn)C、D，且
①求k的值；
②若點(diǎn)N（，1），求△NCD面積取得最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）．根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（II）①在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得B，A的坐標(biāo)，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△及根與系數(shù)的關(guān)系，利用即可求得k的值．②根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到△NCD的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）．
∵，∴，
化為，即為點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得B（0，m），A．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由得到（1+2k²）x²+4mkx+2m²-4=0，
△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16，
，．
∵，∴，∴，
又m≠0，化為4k²=1+2k²，，
∵k＞0，∴．
②|CD|===．
點(diǎn)N到CD的距離=．
∴===≤．
當(dāng)且僅當(dāng)4-m²=m²時(shí)等號(hào)成立，即m²=2，解得．，此時(shí)△＞0，
所以直線的方程為l：．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△及根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)向量相等表示坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式得到△的面積，利用基本不等式的性質(zhì)求最值等知識(shí)與方法．需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力及模式識(shí)別能力．