已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與其到定直線l:x=4的距離之比是,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為M,軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡M于B、C兩點(diǎn).
(1)求軌跡M的方程;
(2)證明:當(dāng)且僅當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),△ABC是以BC為底邊的等腰三角形;
(3)△ABC的面積是否存在最值?如果存在,求出最值;如果不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)由題意得=,則4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,由此能求出軌跡M的方程.
(2)由軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A(-2,0).知直線BC過(guò)點(diǎn)A時(shí),A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,故直線BC的斜率不等于0,設(shè)直線BC的方程為x=my+1,由,得(3m2+4)y2+6my-9=0.再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
(3)設(shè)△ABC的面積存在最值.由點(diǎn)A到直線BC的距離d=,|BC|==12=.故△ABC的面積S=|BC|•d=.由此能夠?qū)С觥鰽BC的面積S∈(0,].
解答:解:(1)由題意得=,
則4[(x-1)2+y2]=(x-4)2
即3x2+4y2=12,∴+=1,即是軌跡M的方程.
(2)由(1)易知軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A(-2,0).
直線BC過(guò)點(diǎn)A時(shí),A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,故直線BC的斜率不等于0,故可設(shè)直線BC的方程為x=my+1,由,得(3m2+4)y2+6my-9=0.
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則
y1+y2=-
如果△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,必有|AB|=|AC|,
∴(x1+2)2+y12=(x2+2)2+y22,
∴(x1+x2+4)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴[m(y1+y2)+6][m(y1-y2)]+(y1+y2)(y1-y2)=0,
∵y1≠y2,∴(m2+1)(y1+y2)+6m=0,
∴(m2+1)(-)+6m=0,
∴m=0或=1(無(wú)解),即如果△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,則m=0,此時(shí)直線BC垂直于x軸.
反之,當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),直線BC的方程是x=1,
易知B(1,-),C(1,)或B(1,),C(1,-),
此時(shí)|BC|=3,|AB|=|AC|=,△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,
故直線BC垂直于x軸時(shí),△ABC是以BC為底邊的等腰三角形.
綜上可得:當(dāng)且僅當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),△ABC是以BC為底邊的等腰三角形.
(3)存在最大值,不存在最小值.
設(shè)△ABC的面積存在最值.由(2)知點(diǎn)A到直線BC的距離d=
|BC|=
=
=
=12=
故△ABC的面積S=|BC|•d=
令t=,則t≥1且m2=t2-1,則==
令g(t)=3t+,則g′(t)=3-,當(dāng)t≥1時(shí)g′(t)恒大于0,
故函數(shù)g(t)=3t+在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故函數(shù)g(t)的值域?yàn)閇4,+∞),故∈(0,],
所以△ABC的面積S∈(0,],即△ABC的面積存在最大值,不存在最小值.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,具有一定的難度,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意培養(yǎng)解題能力,提高解題技巧.
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已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與其到定直線l:x=4的距離之比是
12
,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為M,軌跡M與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡M于B、C兩點(diǎn).
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5
,0)
與定直線l:x=
4
5
的距離之比是常數(shù)
5
2

( I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C及其方程;
( II)求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)且與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.

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(理)已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)與定直線l:的距離之比是常數(shù)
( I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C及其方程;
( II)求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)且與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.

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