Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明: ．

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．（2）見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)方程的判別式得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意得到方程有兩個(gè)根，故可得，且．然后可得，最后利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而不等式成立．

（1）∵，

∴．

①當(dāng)，即時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，

令，得，，且，，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

∴單調(diào)遞增區(qū)間為，；

單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

時(shí)，在區(qū)間，單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．

（2）由（1）得．

∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，

∴方程有兩個(gè)根，，

∴，且，解得．

由題意得

．

令，

則，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴．