Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若直線不經(jīng)過(guò)橢圓上的點(diǎn)，求證：直線的斜率互為相反數(shù)．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，由長(zhǎng)軸長(zhǎng)得出的值，再由離心率得出的值，再計(jì)算出的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，由于直線與橢圓相交，所以列出方程組，經(jīng)過(guò)消參，得到關(guān)于的方程，因?yàn)橹本�與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)，所以方程有2個(gè)實(shí)根，所以方程的判別式大于0，解出的取值范圍；第三問(wèn)，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用第二問(wèn)的關(guān)于的方程，用韋達(dá)定理寫(xiě)出兩根之和、兩根之積，先用兩點(diǎn)的斜率公式列出的斜率，再通分，將上述兩根之和兩根之積代入化簡(jiǎn)直到等于0為止.
試題解析：（Ⅰ）由題意知,，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030559693551.png" style="vertical-align:middle;" />，解得
故橢圓方程為．                        4分
（Ⅱ）將代入并整理得，
，解得.      7分
（Ⅲ）設(shè)直線的斜率分別為和，只要證明.
設(shè)，
則，.    9分

分子


所以直線的斜率互為相反數(shù).     14分