Question

（2013•順義區(qū)二模）已知函數f(x)=

ex

1+ax2

，其中a為正實數，e=2.718…．
（I）若x=

1

2

是y=f（x）的一個極值點，求a的值；
（II）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）依題意，由f′（

1

2

）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，令f′（x）=0可求得方程ax²-2ax+1=0的根，將f′（x）與f（x）的變化情況列表，可求得f（x）的單調區(qū)間．

解答：解：f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

．
（I）因為x=

1

2

是函數y=f（x）的一個極值點，
所以f′（

1

2

）=0，
因此

1

4

a-a+1=0，
解得a=

4

3

．
經檢驗，當a=

4

3

時，x=

1

2

是y=f（x）的一個極值點，故所求a的值為

4

3

．…（4分）
（II）f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

（a＞0），
令f′（x）=0得ax²-2ax+1=0…①
（i）當△=（-2a）²-4a＞0，即a＞1時，方程①兩根為
x₁=

2a- 4a2-4a

2a

=

a- a2-a

a

，x₂=

a+ a2-a

a

．
此時f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， a- a2-a a ）	a- a2-a a	（ a- a2-a a ， a+ a2-a a ）	a+ a2-a a	（ a+ a2-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當a＞1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，

a- a2-a

a

），（

a+ a2-a

a

，+∞）； f（x）的單調遞減區(qū)間為（

a- a2-a

a

，

a+ a2-a

a

）．
（ii）當△=4a²-4a≤0時，即0＜a≤1時，ax²-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此時f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
所以當0＜a≤1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．…（13分）

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，考查利用導數研究函數的單調性，求得f′（x）=0之后，將f′（x）與f（x）的變化情況列表是關鍵，屬于中檔題．