Question

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點.

(1)求證:AE⊥平面A1BD.

(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.

(3)求點B1到平面A1BD的距離.

 

Answer 1

(1)見解析 (2) (3)

【解析】由AA1⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC1A1,故可考慮建立空間直角坐標(biāo)系解決問題.

【解析】
(1)以D為原點,DA所在直線為x軸,過D作AC的垂線為y軸,DB所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,),B1(0,-2,),

=(-2,-1,0),=(-1,2,0),=(0,0,-).∴·=2-2+0=0,

∴AE⊥A1D,·=0,∴AE⊥BD.

又A1D與BD相交于D,∴AE⊥平面A1BD.

(2)設(shè)平面DA1B的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),

由⇒取n1=(2,1,0).

設(shè)平面AA1B的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),

易得=(-1,2,),=(0,2,0),

則由⇒

取n2=(3,0,).cos<n1,n2>==.

故二面角D-BA1-A的余弦值為.

(3)=(0,2,0),平面A1BD的法向量取n1=(2,1,0),則點B1到平面A1BD的距離為d=||=.