Question

南充市某商場在經(jīng)營某種商品的80天內(nèi)發(fā)現(xiàn)：其銷售量和價格均是時間x的函數(shù)．其中銷售量滿足f （x）=-

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x+40（0＜x≤80，x∈N₊），在前40天內(nèi)價格為g₁（x）=

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4

x+10，（0＜x≤40，x∈N₊），在后40天內(nèi)價格為g₂（x）=-

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4

x+30（40＜x≤80，x∈N₊）．求這種商品哪天的銷售額最大，并求最大值．

Answer 1

分析：先分兩段分別寫出銷售額隨時間變化的函數(shù)，再利用二次函數(shù)配方法分別求兩段上的最大值，最后取兩段中較大的最大值作為整個函數(shù)的最大值即可

解答：解：依題意，商品價格為分段函數(shù)g（x）=

1 4 x+10   x∈(0，40] - 1 4 x+30   x∈(40，80]

，而銷售量滿足f （x）=-

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2

x+40（0＜x≤80，x∈N₊），
∴前40天的銷售額為y=（

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4

x+10）（-

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2

x+40）=-

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8

（x+40）（x-80）=-

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8

（x-20）²+450≤450，（0＜x≤40，x∈N₊）（當(dāng)且僅當(dāng)x=20時取等號）
后40天的銷售額為y=（-

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x+30）（-

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x+40）=

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8

（x-120）（x-80）=

1

8

（x-100）²-50＜

1

8

（40-100）²-50=400
∴這種商品在第20天銷售額最大為450元

點評：本題主要考查了將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)最值的方法，分段函數(shù)最值的求法，實現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵