Question

南充市某商場(chǎng)在經(jīng)營(yíng)某種商品的80天內(nèi)發(fā)現(xiàn)：其銷售量和價(jià)格均是時(shí)間x的函數(shù)．其中銷售量滿足f （x）=x+40（0＜x≤80，x∈N₊），在前40天內(nèi)價(jià)格為g₁（x）=，（0＜x≤40，x∈N₊），在后40天內(nèi)價(jià)格為g₂（x）=（40＜x≤80，x∈N₊）．求這種商品哪天的銷售額最大，并求最大值．

Answer 1

【答案】分析：先分兩段分別寫(xiě)出銷售額隨時(shí)間變化的函數(shù)，再利用二次函數(shù)配方法分別求兩段上的最大值，最后取兩段中較大的最大值作為整個(gè)函數(shù)的最大值即可
解答：解：依題意，商品價(jià)格為分段函數(shù)g（x）=，而銷售量滿足f （x）=x+40（0＜x≤80，x∈N₊），
∴前40天的銷售額為y=（）（x+40）=-（x+40）（x-80）=-（x-20）²+450≤450，（0＜x≤40，x∈N₊）（當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)取等號(hào)）
后40天的銷售額為y=（）（x+40）=（x-120）（x-80）=（x-100）²-50＜（40-100）²-50=400
∴這種商品在第20天銷售額最大為450元
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)最值的方法，分段函數(shù)最值的求法，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵