Question

【題目】設函數(shù)（且，），是定義域是的奇函數(shù).

（1）求的值，判斷并證明當時，函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）已知，函數(shù)，，求的值域；

（3）已知，若對于時恒成立，請求出最大的整數(shù)

Answer 1

【答案】（1） ,在上為增函數(shù)；（2） ；（3） .

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù),可得的值.即可得的解析式,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義,利用做差可得出函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)的值求,可得的解析式,利用換元法,將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得值域；（3）利用換元法和參變量分離,將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立,利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值,即可求范圍.

試題解析：解：

（1）∵是定義域為上的奇函數(shù)，∴，得，

，，即是上的奇函數(shù)

設，則，

∵，∴，∴，∴在上為增函數(shù).

（2）∵，∴，即，∴或（舍去）

則，，令，，

由（1）可知該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，

則，，

當時，；當時，

所以的值域為.

（3）由題意，即，在時恒成立，

令，，則

則，恒成立，

即為，恒成立

，恒成立，當時，，

∴，則的最大整數(shù)為.