【題目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+ ；
（3）是否存在實數(shù)a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

【答案】
（1）

解：因為 ，所以當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

當(dāng)1＜x≤e時，f'（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1．


（2）

證明：因為函數(shù)f（x）的極小值為1，即函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為1．

又 ，所以當(dāng)0＜x＜e時，g'（x）＞0，此時g（x）單調(diào)遞增．

所以g（x）的最大值為g（e）= ，所以 ，所以在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+ ．


（3）

解：假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，則 ，

①當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減， ，（舍去），此時函數(shù)f（x）的最小值不是3．

②當(dāng)0 時，f（x）在（0， ]上單調(diào)遞減，f（x）在（ ，e]上單調(diào)遞增．

所以 ，滿足條件．

③當(dāng) 時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減， ，（舍去），此時函數(shù)f（x）的最小值是不是3．

綜上可知存在實數(shù)a=e2，使f（x）的最小值是3


【解析】（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性．（2）利用（1）的結(jié)論，求函數(shù)f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它們之間的關(guān)系證明不等式．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于3，解參數(shù)a．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域為I的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]I，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數(shù)y=f（x）的“好區(qū)間”．
（1）設(shè)g（x）=loga（ax﹣2a）+loga（ax﹣3a）（其中a＞0且a≠1），求g（x）的定義域并判斷其單調(diào)性；
（2）試判斷（1）中的g（x）是否存在“好區(qū)間”，并說明理由；
（3）已知函數(shù)P（x）= （t∈R，t≠0）有“好區(qū)間”[m，n]，當(dāng)t變化時，求n﹣m 的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒（如圖）．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b．

（1）當(dāng)a＝90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；

（2）試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，則必有（ ）
A.f（a）+f（b）＜2f（1）
B.f（a）+f（b）≤2f（1）
C.f（a）+f（b）≥2f（1）
D.f（a）+f（b）＞2f（1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是﹣3，求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：設(shè)為上的可導(dǎo)函數(shù)，若為增函數(shù)，則稱為上的凸函數(shù).

（1）判斷函數(shù)與是否為凸函數(shù)；

（2）設(shè)為上的凸函數(shù)，求證：若， ，則恒有成立；

（3）設(shè)， ， ，求證： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某旅游景區(qū)的景點A處和B處之間有兩種到達方式，一種是沿直線步行，另一種是沿索道乘坐纜車，現(xiàn)有一名游客從A處出發(fā)，以50m/min的速度勻速步行，30min后到達B處，在B處停留20min后，再乘坐纜車回到A處．假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為150m/mm．
（1）求該游客離景點A的距離y（m）關(guān)于出發(fā)后的時間x（mm）的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；
（2）做出（1）中函數(shù)的圖象，并求該游客離景點A的距離不小于1000m的總時長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我市2016年11月1日11月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下（主要污染物可吸入顆粒物）：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,83,82,82,64,79,86，85,75,71,49,45.

樣本頻率分布表：

分組

頻數(shù)

頻率

2

1

4

6

10

2

（Ⅰ）完成頻率分布表；

（Ⅱ）作出頻率分布直方圖；

（Ⅲ）根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在050之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51100之間時為良；在101150之間時，為輕微污染；在151200之間時，為輕度污染.請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知X是離散型隨機變量，P（X=1）= ，P（X=a）= ，E（X）= ，則D（2X﹣1）等于（ ）
A.
B.﹣
C.
D.

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