【題目】對于定義域為I的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]I,同時滿足:
①f(x)在[m,n]內是單調函數(shù);
②當定義域是[m,n],f(x)值域也是[m,n],則稱[m,n]是函數(shù)y=f(x)的“好區(qū)間”.
(1)設g(x)=loga(ax﹣2a)+loga(ax﹣3a)(其中a>0且a≠1),求g(x)的定義域并判斷其單調性;
(2)試判斷(1)中的g(x)是否存在“好區(qū)間”,并說明理由;
(3)已知函數(shù)P(x)= (t∈R,t≠0)有“好區(qū)間”[m,n],當t變化時,求n﹣m 的最大值.
【答案】
(1)解:由題意: ,解得:ax>3a,
①當a>1時,x>log3(3a),函數(shù)此時定義域D=(log3(3a),+∞).
設x1<x2,x1,x2∈D,
∵ ,∴0< ,0< ,
∴ , ,
∴g(x2)>g(x1)
故得函數(shù)g(x)在定義域D=(log3(3a),+∞)內是增函數(shù).
②當0<a<1時,x<log3(3a),函數(shù)此時定義域D=(﹣∞,log3(3a)).
同理可證g(x)在定義域D=(﹣∞,log3(3a))內是增函數(shù)
(2)解:假設g(x)存在“好區(qū)間”,由(1)可知m,n∈D(m<n,
由新定義有: 關于x的方程在定義域D內有兩個不等的實數(shù)根.
即(ax﹣2a)(ax﹣3a)=ax在定義域D內有兩個不等的實數(shù)根.(*)
設t=ax,則(*)(t﹣2a)(t﹣3a)=t,即t2﹣(5a+1)t+6a2=0在(3a,+∞)內有兩個不等的實數(shù)根,
令t2﹣(5a+1)t+6a2=P(t),
則 ,解得:a無解.
所以函數(shù)g(x)不存在“好區(qū)間”
(3)解:由題設,函數(shù)P(x)= = (t∈R,t≠0)有“好區(qū)間”[m,n],其定義域為(﹣∞,0)∪(0,+∞),
∴[m,n](﹣∞,0)或[m,n](0,+∞),
根據反比例的性質,函數(shù)P(x)= 在[n,m]上單調遞增,
則 ,所以m,n是方程p(x)=x實數(shù)根.
即方程t2x2﹣(t2+t)x+1=0有同號的相異實數(shù)根.
∵mn= >0,mn同號,
∴△=(t2+t)﹣4t2>0或t<﹣3,解得:t>1或t<﹣3.
m﹣n= ,
當t=3,n﹣m得最大值
【解析】(1)根據對數(shù)的真數(shù)大于0,在討論底數(shù)a與1的大小可得定義域.定義證明單調性.(2)根據定義域是[m,n],f(x)值域也是[m,n],建立關系求解a的值即可判斷.(3)根據定義域是[m,n],f(x)值域也是[m,n],建立關系,轉化為二次函數(shù)的問題配方求解最值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x),當x∈[0,2)時,f(x)= ,若x∈[﹣4,﹣2)時,f(x)≥ 恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是( )
A.[﹣2,0)∪(0,1)
B.[﹣2,0)∪[1,+∞)
C.[﹣2,1]
D.(﹣∞,﹣2]∪(0,1]
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程: (t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸,且取相同的長度單位建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2= .
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;
(2)設曲線C與直線l交于A,B兩點,若P(1,2),求|PA|+|PB|的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下頂點分別為,且點. 分別為橢圓的左、右焦點,且.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)點是橢圓上異于, 的任意一點,過點作軸于, 為線段
的中點.直線與直線交于點, 為線段的中點, 為坐標原點.求
的大。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n有兩個零點﹣1與3.
(1)求出函數(shù)f(x)的解析式,并指出函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(2)若g(x)=f(|x|)在x1 , x2∈[t,t+1]是增函數(shù),求實數(shù)t的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設,若存在常數(shù),使得對任意,均有,則稱為有界集合,同時稱為集合的上界.
(1)設、,試判斷、是否為有界集合,并說明理由;
(2)已知,記().若,
,且為有界集合,求的值及的取值范圍;
(3)設均為正數(shù),將中的最小數(shù)記為.是否存在正數(shù),使得為有界集合, 均為正數(shù)的上界,若存在,試求的最小值;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 的值域為集合A,關于x的不等式 的解集為B,集合 ,集合D={x|m+1≤x<2m﹣1}(m>0)
(1)若A∪B=B,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若DC,求實數(shù)m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD為菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分別是BC,A1C的中點.
(1)求異面直線EF,AD所成角的余弦值;
(2)點M在線段A1D上, .若CM∥平面AEF,求實數(shù)λ的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax﹣lnx,x∈(0,e],g(x)= ,其中e是自然常數(shù),a∈R.
(1)討論a=1時,函數(shù)f(x)的單調性和極值;
(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+ ;
(3)是否存在實數(shù)a使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com