Question

【題目】如圖，為拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)在軸兩側(cè)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，再將其代入拋物線方程解得即可；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，由線段的中點(diǎn)在直線上，可得，進(jìn)而可得直線的方程為，再表示出直線的斜率，進(jìn)而運(yùn)算即可.

（1）由題意知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

因?yàn)?/span>為拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以解得

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）顯然直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程，得消去，化簡并整理得.

則，即.

設(shè)，則，

所以，

故直線的方程為.

，

易知，所以，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.

故的取值范圍為.