【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn).

⑴求證：；

⑵求二面角的余弦值；

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)直四棱柱的性質(zhì)，得到，利用線面平行的判定定理，即可證得；（2）由是直棱柱，且，故、、兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面和平面的法向量，求解兩個向量所成的角，即可求解二面角的余弦值.

試題解析：⑴證明：連接，交于點(diǎn)，連接.

由是直三棱柱得四邊形為矩形，的中點(diǎn).

又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以，

所以，，所以.

⑵由是直棱柱，且，故、、兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，.

所以，.

設(shè)平面的法向量為，則有 所以

取，得.

易知平面法向量為.

由二面角平面角是銳角，得.

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足，且，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項和，若對任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組，在參加活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%．登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本，試確定：

（1）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

（2）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且，設(shè)，數(shù)列滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3）若對一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值的表達(dá)式；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域，部分對應(yīng)值如表， 的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)的命題；

①函數(shù)的值域為；

②函數(shù)在上是減函數(shù)；

③如果當(dāng)時， 最大值是，那么的最大值為；

④當(dāng)時，函數(shù)最多有4個零點(diǎn).

其中正確命題的序號是_________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，若存在，，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a＝1，b＝2，cos C＝.

(Ⅰ)求△ABC的周長； (Ⅱ)求cos A的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某小區(qū)隨機(jī)抽取40個家庭，收集了這40個家庭去年的月均用水量（單位：噸）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）從該小區(qū)隨機(jī)選取一個家庭，試估計這個家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率；

（3）在這40個家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個容量為7的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意選取2個家庭，求其中恰有一個家庭的月均用水量不低于8噸的概率.

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