【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,證明:;
(3)若,直線與曲線相切,證明:.
(參考數(shù)據(jù):,)
【答案】(1)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減;(2)見(jiàn)證明;(3)見(jiàn)證明
【解析】
(1)先求得,利用當(dāng),得的單調(diào)遞增區(qū)間,由,得的單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)分析可得0是的極小值點(diǎn),求得a,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)分析可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則.
從而.
(3)設(shè)切點(diǎn)為,列出消掉k,得到.構(gòu)造函數(shù),分析可得.
構(gòu)造,分析得到為增函數(shù),可得.得到.
(1).
當(dāng),得,則在上單調(diào)遞增;
當(dāng),得,則在上單調(diào)遞減.
(2)因?yàn)?/span>,所以,則0是的極小值點(diǎn).
由(1)知,則.
設(shè)函數(shù),則.
設(shè)函數(shù),則.易知.
則恒成立.
令,得;令,得.
則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
則.
從而,即.
(3)設(shè)切點(diǎn)為,
當(dāng)時(shí),,
則
則.
即.
設(shè)函數(shù),
,則為增函數(shù).
又,,
則.
設(shè),則.
若,則,為增函數(shù).
則.又.
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說(shuō)明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過(guò) | 不超過(guò) | |
第一種生產(chǎn)方式 | ||
第二種生產(chǎn)方式 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì),普及冬奧知識(shí),某校開(kāi)展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,將他們的比賽成績(jī)(滿分為100分)分為6組:,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)記表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于80分”,估計(jì)的概率;
(Ⅲ)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”,比賽成績(jī)低于80分為“非優(yōu)秀”.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
參考公式及數(shù)據(jù):,.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某年級(jí)組織學(xué)生參加了某項(xiàng)學(xué)術(shù)能力測(cè)試,為了解參加測(cè)試學(xué)生的成績(jī)情況,從中隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)作為樣本,規(guī)定成績(jī)大于或等于80分的為優(yōu)秀,否則為不優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖:
(1)求的值和樣本的平均數(shù);
(2)從該樣本成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中任選兩名,求這兩名學(xué)生的成績(jī)至少有一個(gè)落在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,,其中是的導(dǎo)函數(shù).
(1)令,,,猜想的表達(dá)式,并給出證明;
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(Ⅰ)當(dāng)與軸垂直時(shí),求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及的值
(Ⅱ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上.
(1)求證:;
(2)若是正三角形,求三棱柱的體積.
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