Question

8．在棱長為2的正方體中，
（1）求異面直線BD與B₁C所成的角
（2）求證：平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

Answer 1

分析 （1）連接B₁D₁，CD₁，由B₁D₁∥BD，可得∠CB₁D₁為異面直線BD與B₁C所成的角（或補角），運用等邊三角形的定義，即可得到所求角；
（2）設(shè)AC和BD相交于O，連接OB₁，由正方形對角線垂直和等邊三角形的性質(zhì)，可得AC⊥平面B₁D₁DB，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 解：（1）連接B₁D₁，CD₁，
可得△C₁BD₁為等邊三角形，
由B₁D₁∥BD，
可得∠CB₁D₁為異面直線BD與B₁C所成的角（或補角），
由∠CB₁D₁=60°，
可得異面直線BD與B₁C所成的角為60°；
（2）證明：設(shè)AC和BD相交于O，
連接OB₁，
由正方形ABCD可知AC⊥BD，
△ACB₁為等邊三角形，O為AC的中點，
可得AC⊥OB₁，
BD∩OB₁=O，BD?平面B₁D₁DB，OB₁?平面B₁D₁DB，
即有AC⊥平面B₁D₁DB，
又AC?平面ACB₁，
則平面ACB₁⊥平面B₁D₁DB．

點評 本題考查空間異面直線所成角的求法，面面垂直的判定，注意運用定義法和線面垂直的判定定理，考查推理和運算能力，屬于中檔題．