【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)),函數(shù),(為常數(shù),且).
(1)若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn),求的取值的集合.
(2)當(dāng)(1)中的取最大值時(shí),求證:.
【答案】(1) {k|k≤0或k=1} (2)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:
(1)由題意得,①當(dāng)k≤0時(shí),由根的存在性定理可得f(x)在(ek-2,1)上存在唯一零點(diǎn),符合題意。②當(dāng)k>0時(shí),可得f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。若,得k=1,顯然滿(mǎn)足題意;若,則得在上有唯一零點(diǎn),在上有唯一零點(diǎn),不符題意。綜上可得實(shí)數(shù)k的取值的集合為{k|k≤0或k=1}.
(2)由(1)知k=1,可得lnx≤x-1,而,故。故當(dāng)k=1時(shí), 。 再證記,即可得到結(jié)論。
試題解析:
(1)由題意得,
①當(dāng)k≤0時(shí),f′(x)>0,則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.
而f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1≤-1<0,f(1)=1-k>0,
故f(x)在(ek-2,1)上存在唯一零點(diǎn),滿(mǎn)足題意;
②當(dāng)k>0時(shí),
令f′(x)>0得0<x<,則f(x)在上單調(diào)遞增;
令f′(x)<0得x>,則f(x)在上單調(diào)遞減;
若,得k=1,顯然滿(mǎn)足題意;
若,則0<k<1,而f=<0,
又f=2ln-+1=2+1,
令h(x)=lnx-x+1,則h′(x)=,
令h′(x)>0,得x<1,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
令h′(x)<0,得x>1,故h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
故h(x)≤h(1)=0,則h=ln-+1<0,
即ln-<-1,
則f=2ln-+1=2+1<-1<0.
故在上有唯一零點(diǎn),在上有唯一零點(diǎn),不符題意.
綜上實(shí)數(shù)k的取值的集合為{k|k≤0或k=1}.
(2)由(1)知k=1,可得lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,
而,故,
則k=1時(shí),
。
記,
則F′(x)=(x+1)=(axex-2),
令G(x)=axex-2,則G′(x)=a(x+1)ex>0,故G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
而G(0)=-2<0,G=2(-1)>0,
故存在x0∈,使得G(x0)=0,即ax0-2=0.
且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),G′(x)<0,故F′(x)<0;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),G′(x)>0,故F′(x)>0.
則F(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
故
故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】命題p:函數(shù)f(x)= (a>0,且a≠1)在R上為單調(diào)遞減函數(shù),命題q:x∈[0, ],x2﹣a≤0恒成立.
(1)求命題q真時(shí)a的取值范圍;
(2)若命題p∧q為假,p∨q為真,求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+ cosx)﹣1(其中x∈R),求:
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(3)函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),過(guò)AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P,若 ,則弦長(zhǎng)|AB|等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若m=1,求函數(shù)f(x)的定義域.
(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)對(duì)任意都有,且函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若滿(mǎn)足不等式,則當(dāng)時(shí), 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,且恰好與直線(xiàn)l1:x﹣2y+3 =0相切,點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),AM⊥x軸于點(diǎn)M,且動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足 ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)C.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線(xiàn)l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A,B,且滿(mǎn)足 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a1 , a3 , a9成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= +n,求數(shù)列Sn的前Sn項(xiàng)和Sn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(xiàn)l的方程為x=﹣2,且直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)M,圓O:x2+y2=1與x軸交于A,B兩點(diǎn).
(1)過(guò)M點(diǎn)的直線(xiàn)l1交圓于P、Q兩點(diǎn),且圓孤PQ恰為圓周的 ,求直線(xiàn)l1的方程;
(2)若橢圓中a,c滿(mǎn)足 =2,求中心在原點(diǎn),且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程;
(3)過(guò)M點(diǎn)作直線(xiàn)l2與圓相切于點(diǎn)N,設(shè)(2)中橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 求三角形△NF1F2面積.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話(huà):027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com