Question

【題目】已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l1：x﹣2y+3 =0相切，點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AM⊥x軸于點(diǎn)M，且動(dòng)點(diǎn)N滿足 ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且滿足 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x，y），A（x0 ， y0），
∵AM⊥x軸于點(diǎn)M，∴M（x0 ， 0），
設(shè)圓C1 的方程為x2+y2=r2 ， 由題意得 ，
∴圓C1 的方程為x2+y2=9．
由題意， ，得 ，
∴ ，即 ，
將A（ ）代入x2+y2=9，得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為 ；
（Ⅱ）①假設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m，
聯(lián)立 ，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．
∴△=64k2﹣8m2+32＞0．
，（*）
∵ ，∴ ，則x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
化簡(jiǎn)可得， ．
將（*）代入可得3m2=8k2+8．
又∵|AB|= ．
將 代入，可得 =
= ．
∴當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立．
又由 ，∴|AB| ．
∴ ．
②若直線l的斜率不存在，則OA所在直線方程為y=x，
聯(lián)立 ，解得A（ ），
同理求得B（ ），
求得 ．
綜上，得
【解析】（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N（x，y），A（x0 ， y0），M（x0 ， 0），由題意求圓C1的方程，結(jié)合已知 ，把A的坐標(biāo)用N的坐標(biāo)表示，代入圓的方程求得橢圓C的方程；（Ⅱ）假設(shè)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用 ，結(jié)合根浴系數(shù)的關(guān)系得到3m2=8k2+8．再利用弦長(zhǎng)公式求得弦AB的長(zhǎng)，利用基本不等式及函數(shù)的性質(zhì)求得|AB|的范圍；若直線l的斜率不存在，直接求出A，B的坐標(biāo)得到|AB|的值，則線段AB長(zhǎng)度的取值范圍可求．